Demuestre que para $\lambda<0$ tenemos $\inf(\lambda A)=\lambda \sup(A)$

Question

Para $A\subset \mathbb{R}$ y $\lambda \in \mathbb{R}$ definamos: $$ \lambda A = \{\lambda a: a\in A\} $$ Tengo que demostrar que para $\lambda<0$ y limitado $A$ tenemos $\inf(\lambda A)=\lambda \sup(A)$ y no estoy seguro de que mi prueba sea correcta.

En primer lugar, observemos que $\forall a\in A$ que tenemos: $$ a\leq \sup(A) \iff \lambda a \geq \lambda \sup(A) \hspace{0.3cm} \text{(because $ \lambda $ is negative)}. $$ Si se cumple lo anterior $\forall \lambda a \in \lambda A$ entonces: $$ \inf(\lambda A) \geq \lambda \sup(A). $$

Ahora, la otra desigualdad, $\forall \lambda a \in \lambda A$ que tenemos: $$ \lambda a \geq \inf(\lambda A), $$ Así que..: $$ a\leq \frac{1}{\lambda}\inf(\lambda A) $$ y como lo anterior es válido $\forall a\in A$ podemos escribir: $$ \sup(A)\leq \frac{1}{\lambda} \inf(\lambda A) $$ que es lo mismo que: $$ \lambda \sup(A) \geq \inf(\lambda A) $$ Así demostramos que: $$ \lambda \sup(A) \leq \inf(\lambda A) \leq \lambda \sup(A) $$ así que $$ \lambda \sup(A) = \inf(\lambda A). $$

¿Puedo probarlo así o falta algo? ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

En primer lugar, aquí está mi respuesta directa a su pregunta: esta prueba está bien estructuralmente, pero su redacción se puede mejorar en dos puntos. Primero, $\;\forall \lambda a \in \lambda A\;$ es formalmente incorrecto y también confuso: sólo quiere decir $\;\forall a \in A\;$ . En segundo lugar, "Si se cumple lo anterior $\;\forall \ldots\;$ "debería ser "Dado que la última desigualdad se cumple $\;\forall\ldots\;$ ". $ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\op}[1]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}} \newcommand{\hints}[1]{\mbox{#1} \\ \quad & \quad \phantom{\unicode{x201c}} } \newcommand{\hint}[1]{\mbox{#1} \unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\ref}[1]{\text{(#1)}}\newcommand{\inf}[1]{\text{inf}(#1)} \newcommand{\sup}[1]{\text{sup}(#1)}\newcommand{\then}{\Rightarrow} \newcommand{\when}{\Leftarrow}\newcommand{\true}{\text{true}} \newcommand{\false}{\text{false}} $

El paso que intenta expresar $\;\forall \lambda a \in \lambda A\;$ es, creo, utilizar la definición de $\;\lambda A \;$ para llegar desde $$ \langle \forall a : a \in A : \lambda a \ge \ldots \rangle $$ al equivalente $$ \langle \forall b : b \in \lambda A : b \ge \ldots \rangle $$ (A partir de ahora utilizaré notaciones lógicas ligeramente diferentes, que me resultan más fáciles de utilizar. Espero que no sean demasiado confusas...)

A continuación, me referiré a este paso simplemente como "ampliar la definición de $\;\lambda A\;$ ". Pero en realidad hay un poco de complejidad lógica oculta en ese paso, que quizá pueda ilustrar más fácilmente pasando del segundo al primero: $$\calc \langle \forall b : b \in \lambda A : b \ge \ldots \rangle \op=\hint{definition of $ \;\lambda A\; $} \langle \forall b : \langle \exists a : a \in A : b= \lambda a \rangle : b \ge \ldots \rangle \op{\tag{*} =}\hint{logic} \langle \forall b :: \langle \forall a: a \in A \;\land\; b = \lambda a : b \ge \ldots \rangle\rangle \op=\hint{logic: exchange quantifiers} \langle \forall a: a \in A : \langle \forall b : b = \lambda a : b \ge \ldots \rangle \rangle \op=\hint{logic: one-point rule} \langle \forall a: a \in A : \lambda a \ge \ldots \rangle \endcalc$$ Aquí $\ref{*}$ utiliza el hecho de que $\;\langle \exists a :: P(a) \rangle \then Q\;$ es equivalente a $\;\langle \forall a :: P(a) \then Q \rangle\;$ si $\;Q\;$ no contiene un $\;a\;$ .

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Para ilustrar lo útil que es tener definiciones sencillas y hacerlas explícitas, he aquí una prueba alternativa.

Las definiciones que ha utilizado (implícitamente) para $\;\sup{A}\;$ y $\;\inf{B}\;$ son que \begin{align} & \langle \forall a : a \in A : a \le \sup{A} \rangle \\ & \langle \forall a : a \in A : a \le z \rangle \;\then\; \sup{A} \le z \\ \end{align} y \begin{align} & \langle \forall b : b \in B : b \ge \inf{B} \rangle \\ & \langle \forall b : b \in B : b \ge z \rangle \;\then\; \inf{B} \ge z \\ \end{align} para cualquier $\;z\;$ y para cualquier conjunto $\;A\;$ que tiene un límite inferior y $\;B\;$ con un límite superior.

En su lugar, propongo utilizar las siguientes definiciones equivalentes pero más sencillas: para todo $\;z\;$ , $$ \tag{1} \sup{A} \leq z \;\equiv\; \langle \forall a : a \in A : a \leq z \rangle $$ y $$ \tag{2} z \leq \inf{B} \;\equiv\; \langle \forall b : b \in B : z \leq b \rangle $$

Y como principio de prueba, lo siguiente es muy útil cuando se trata de límites superiores e inferiores: $$ \tag{3} x = y \;\equiv\; \langle \forall z :: z \le x \;\equiv\; z \le y \rangle $$ que dice que dos números son iguales si tienen los mismos límites inferiores.

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Ahora, para demostrar $$ \tag{4} \inf{\lambda A} \;=\; \lambda \sup{A} $$ para $\;\lambda < 0\;$ y un límite inferior $\;A\;$ para cualquier $\;z\;$ : $$\calc z \le \inf{\lambda A} \op=\hint{'expand' $ \..; $ using definition $ \ref{2} $} \langle \forall b : b \in \lambda A : z \leq b \rangle \op=\hint{expand definition of $ \;\lambda A\; $} \langle \forall a : a \in A : z \leq \lambda a \rangle \op= \hints{arithmetic: divide by negative $ \;\lambda\; $} \hints{-- to prepare for introducing $ \..; $ through $ |ref{1} $,} \hint{since we are working towards the RHS of $ |ref{4} $} \langle \forall a : a \in A : a \leq z / \lambda \rangle \op=\hint{introduce $ \..; $ by definition $ |ref{1} $} \sup{A} \leq z / \lambda \op=\hint{arithmetic: multiply by negative $ \;\lambda\; $} z \leq \lambda \sup{A} \endcalc$$ Por principio $\ref{3}$ esto demuestra $\ref{4}$ .