Definiendo relaciones de equivalencia.

Question

Así que no me siento realmente cómodo con las relaciones de equivalencia, por lo que este ejemplo de Wikipedia me causa problemas. Aquí está lo que dice:

Deje que el conjunto$\{a,b,c\}$ tenga la relación de equivalencia$\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}$.

¿Entonces también puede ser$\lbrace(a,a), (b,b), (c,c) \rbrace$ si así lo elijo?

Answer 1

Su relación es de hecho una relación de equivalencia:

La reflexividad sostiene claramente, como la simetría hace. La transitividad no tiene ya

$$\forall x,y,z\in X: xRy \wedge yRz \implies xRz $$

es una declaración verdadera: $xRy \wedge yRz$ se cumple en este caso si y sólo si $x=y=z$, en cuyo caso claramente (reflexividad) $xRz$.

EDIT: más Simple argumento (sin lógica simbólica)

Quieres demostrar que la relación se $R=\lbrace(a,a), (b,b), (c,c) \rbrace$ definido en el set $X=\{a,b,c\}$ es una relación de equivalencia, por lo que usted debe probar tres propiedades:

1. Para cada $x\in X$, $(x,x)\in R$. (Reflexividad)
2. Para cada $x,y\in X$ si $(x,y)\in R$, entonces necesariamente $(y,x)\in R$ (Simetría).
3. Para cada $x,y,z\in R$ si $(x,y)\in R$ e $(y,z)\in R$, entonces necesariamente $(x,z)\in R$. (Transitividad).

Ahora podemos probar esas propiedades.

1. Tomar cualquier elemento $x$ de % de$X$, sólo tenemos tres posibilidades, a saber, $x$ es igual a $a$, $b$ o $c$, en cualquier caso, $(x,x)\in R$, por lo que la relación es reflexiva.
2. Tomar cualquier elemento $x$ e $y$ de % de$X$, debemos probar que si $(x,y)\in R$,, a continuación,$(y,x)\in R$. Sólo necesitamos centrarnos en los casos en que $(x,y)\in R$ (si $(x,y)\notin R$ no hay nada que probar!), así que la única casos se $x=y=a, b, c$ donde la simetría sostiene claramente.
3. Aquí está el punto, debemos tomar cualquiera de los tres elementos de la $x,y,z$ de % de $X$ y demostrar que si $(x,y)\in R$ e $(y,z)\in R$,, a continuación,$(x,z)\in R$. De nuevo, sólo nos centramos en el caso de $(x,y)\in R$ e $(y,z)\in R$, pero esto sólo ocurre si $x=y=z$ y por lo tanto, claramente, $(x,z)\in R$.

Por favor, nótese que no toda relación que se define en $X$ se convierte en una relación de equivalencia. Por ejemplo, si elige agregar (sólo) $(a,b)$ a $R$, entonces la simetría se pierde.