Pedir ayuda con E(X(E(Y|X))

Question

Este es el problema 6.9 de Ross.

Tengo el pdf conjunto $$f(x,y) = 6/7(x^2+xy/2), 0<x<1, 0<y<2$$ pdf marginal $f(x) = (6/7)x(2x+1)$ pdf condicional $$f(y|x) = f(x,y)/f(x) = (x+y/2)/(2x+1)$$ expectativa condicional $$E(y|x) = (3x+16)/(6(2x+1))$$

Entonces mi profesor tiene $$E(xy) = E(xE(y|x)) = \int_0^1 E(y|x) f(x) dx$$

Esta es la parte que no entiendo. Yo creía que $E(xE(y|x))$ sería $$\int_0^1 xE(y|x)dx$$ pero en lugar del $x$ , ella tiene $f(x)$ .

Sin embargo, en otro ejemplo tengo $$ E(Y|X) = \frac 12 x. $$

Entonces mi profesor tiene $$ E(XE(Y|X)) = E(\frac 12 x^2) $$ No entiendo por qué en un caso se multiplica por $x$ y en el otro por $f(x)$

Answer 1

Yo distinguiría entre el capital $X$ y $Y$ y las minúsculas $x$ y $y$ siendo las primeras las variables aleatorias, y las segundas las variables utilizadas en expresiones como $f(x,y)$ y en $\int\cdots\cdots\,dx$ etc.

Entonces tenemos $$ E(X E(Y\mid X)) = \int_0^1 x E(Y\mid X=x) \, f(x) \, dx. $$

De forma más general, para cualquier función $g$ , $$ E(g(X)) = \int_0^1 g(x) f(x) \, dx. $$

A lo largo de todo el texto, debes notar cuidadosamente dónde he puesto las mayúsculas $X$ y $Y$ y donde he puesto minúsculas $x$ y $y$ .

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comenzar a cotizar

Sin embargo, en otro ejemplo tengo $$ E(Y|X) = \frac 12 x. $$

Entonces mi profesor tiene $$ E(XE(Y|X)) = E(\frac 12 x^2) $$ No entiendo por qué en un caso se multiplica por $x$ y en el otro por $f(x)$

fin de la cita

De nuevo, teniendo cuidado con las mayúsculas y minúsculas, escribiría:

Sin embargo, en otro ejemplo tengo $$ E(Y\mid X) = \frac 12 X $$ (con mayúsculas $X$ ya que se trata de una variable aleatoria).

$$ E(XE(Y\mid X)) = E\left(\frac 12 X^2\right) $$

Después de eso, puedes escribir $$ E\left(\frac 1 2 X^2 \right) = \int_0^1 \left(\frac12 x^2 \right) f(x)\, dx. $$