La construcción de un conjunto de Bernstein en un espacio polaco

Question

Acabo de leer la prueba de cómo construir dos Bernstein establece en un espacio polaco $X$ el uso de los hechos que hay en la mayoría de las $2^{\aleph_0}$ muchos subconjuntos cerrados si $X$ es polaca y que cada subconjunto cerrado de un espacio polaco es contable o de cardinalidad $2^{\aleph_0}$. Ahora me pide que use el teorema de la generalizada recursivo de construcción para lograr el mismo (esto es, p 176 en Solo/Weese).

Así que pensé que podría definir una función $G^\ast$ de manera tal que se asigna a la par $\langle f,\xi \rangle$ en $P(X \times X)$ a $(X \setminus \left \{f(\gamma)[0] \mid \gamma \in \xi \right \}) \times (X \setminus \left \{f(\gamma)[1] \mid \gamma \in \xi \right \})$. Aquí $f: \xi \to X \times X$ y usé $[0]$ e $[1]$ para denotar la primera y la segunda coordenada de un elemento en la imagen de $f$.

Me pueden decir si esto es correcto? Gracias por su ayuda.

Answer 1

La manera en que yo lo veo, hay al menos un par de problemas con la función de $G^*$:

1. si $\langle x , y \rangle \in G^* ( \langle f , \xi \rangle )$, no asegurarse de que $x , y \in K_\xi$;
2. si $\langle x , y \rangle \in G^* ( \langle f , \xi \rangle )$, no asegurarse de que $x \neq y$;
3. no es suficiente para garantizar que los si $\langle x , y \rangle \in G^* ( \langle f , \xi \rangle )$ entonces $x \neq f(\gamma)[0]$ para todos los $\gamma < \xi$ (usted también necesita que sea diferente de todos los $f(\gamma)[1]$); lo mismo para $y$.

Creo que si de llenar esos huecos que su construcción sea correcta.