R: Greenhouse-Geisser en Anova de coche

Question

tengo una pregunta sobre la salida de {auto} Anova. Quiero ejecutar un simple 2x2 ANOVA de medidas repetidas utilizando el enfoque multivariado. Puedo ejecutar el (modificado) ejemplo de la Anova {auto} en la página de ayuda:

phase <- factor(rep(c("pretest", "posttest", "followup"), c(5, 5, 5)),
                levels=c("pretest", "posttest", "followup"))
hour <- ordered(rep(1:5, 3))
idata <- data.frame(phase, hour)
idata

mod.ok <- lm(cbind(pre.1, pre.2, pre.3, pre.4, pre.5, 
                post.1, post.2, post.3, post.4, post.5, 
                fup.1, fup.2, fup.3, fup.4, fup.5) ~  1, 
            data=OBrienKaiser)

(av.ok <- Anova(mod.ok, idata=idata, idesign=~phase*hour) )
b<-summary(av.ok)

Que da la siguiente (acortado) de salida

Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assuming Sphericity

                SS num Df Error SS den Df        F    Pr(>F)    
(Intercept) 7260.0      1   603.33     15 180.4972 9.100e-10 ***
phase        167.5      2   169.17     30  14.8522 3.286e-05 ***
hour         106.3      4    73.71     60  21.6309 4.360e-11 ***
phase:hour    11.1      8   122.92    120   1.3525    0.2245    
---
Signif. codes:  0 ‘***' 0.001 ‘**' 0.01 ‘*' 0.05 ‘.' 0.1 ‘ ' 1 


Mauchly Tests for Sphericity

        Test statistic  p-value
phase             0.70470 0.086304
hour              0.11516 0.000718
phase:hour        0.01139 0.027376


Greenhouse-Geisser and Huynh-Feldt Corrections
for Departure from Sphericity

            GG eps Pr(>F[GG])    
phase      0.77202  0.0001891 ***
hour       0.49842  1.578e-06 ***
phase:hour 0.51297  0.2602357    
---
Signif. codes:  0 ‘***' 0.001 ‘**' 0.01 ‘*' 0.05 ‘.' 0.1 ‘ ' 1 

            HF eps Pr(>F[HF])    
phase      0.84367  0.0001089 ***
hour       0.57470  3.161e-07 ***
phase:hour 0.73031  0.2439922    
---
Signif. codes:  0 ‘***' 0.001 ‘**' 0.01 ‘*' 0.05 ‘.' 0.1 ‘ ' 1 

Sin embargo, con mis datos (ver más abajo) el Greenhouse-Geisser salida falta:

    h2 <-
structure(list(A1neg = c(-8.427556992, 1.20452559, -14.331842422, 
-10.428559303, 1.750265002, 9.388166428, 0.790130436, -1.592002392, 
0.539065838, -3.758603573, 8.391399384), B1neg = c(-12.188085556, 
-1.964554906, -12.247328758, -7.326891422, -0.961694896, -1.048453212, 
-4.225459576, 0.173920691, 1.876976371, -9.11947155, -1.706287026
), A1pos = c(-0.660317183, 3.498036146, 22.003242493, 19.905063629, 
-3.124288321, 11.968006134, 5.838645935, 5.140467644, 5.154311657, 
2.298083067, 1.164232969), B1pos = c(-12.805168152, -1.550003886, 
45.990013123, 15.915545464, -1.67797184, 7.565258026, 10.635170937, 
12.769438744, 11.738276482, 4.544145107, 0.230011433)), .Names = c("A1neg", 
"B1neg", "A1pos", "B1pos"), class = "data.frame", row.names = c("1", 
"11", "21", "31", "41", "51", "61", "71", "81", "91", "101"))


condition <- ordered(rep(c("A", "B"), c(2)),
                 levels=c("A", "B"))
reg <- factor(rep(c("neg", "pos"), c(2,2)),
            levels=c("neg", "pos"))
idata<-data.frame(condition, reg)
idata

mod.ok<-lm(cbind( A1neg,B1neg,A1pos,B1pos) ~ 1, data=h2)
(av.ok<-Anova(mod.ok, idata=idata, idesign=~condition*reg))
summary(av.ok)

Esto nos da:

Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assuming Sphericity

                SS num Df Error SS den Df      F  Pr(>F)  
(Intercept)    233.35      1   995.14     10 2.3449 0.15669  
condition        3.32      1   373.00     10 0.0891 0.77143  
reg           1220.66      1  2135.77     10 5.7153 0.03791 *
condition:reg   62.48      1   176.90     10 3.5318 0.08963 .
---
Signif. codes:  0 ‘***' 0.001 ‘**' 0.01 ‘*' 0.05 ‘.' 0.1 ‘ ' 1 
> 

¿Tiene usted alguna idea, ¿qué salió mal?

Answer 1

Nada salió mal. El programa se hizo exactamente lo que estaba destinado a hacer. Es debido a que sólo tiene un diseño factorial 2x2 en su ejemplo. Mauchly en la prueba de esfericidad se comparan las varianzas de las diferencias entre los niveles de factores de medidas repetidas. Otra forma de verlo es la matriz de covarianza en el diseño de medidas repetidas. Si usted tiene un 2x2 de diseño, no es sólo uno de covarianza, mira el siguiente varianza-covarianza de la matriz (donde $A1$ e $A2$ son las mediciones repetidas):

$$ \left( \begin{array}{ccc} Var(A1) & Cov(A1, A2) \\ Cov(A2, A1) & Var(A2) \end{array} \right) $$

There is only one covariance (covariance is symmetric), namely $Cov(A1,A2)=Cov(A2,A1)$. Hence, there is only one variance of the difference $Var(A1-A2)$. Así: en un diseño 2x2, la esfericidad de la asunción siempre se cumple. Es por eso que la función summary.Anova.mlm no calcular de la prueba de Mauchly y no Greenhouse-Geisser correcciones se da en la salida. Aquí es una explicación muy buena de esfericidad y su problema es también mencionado (sección "Complicaciones").

Mira lo que sucede si se añade otro nivel a su ejemplo (he hecho los datos de "C"):

h2 <- structure(list(A1neg = c(-8.427556992, 1.20452559, -14.331842422, 
                               -10.428559303, 1.750265002, 9.388166428, 0.790130436, -1.592002392, 
                               0.539065838, -3.758603573, 8.391399384),
                     B1neg = c(-12.188085556, 
                               -1.964554906, -12.247328758, -7.326891422, -0.961694896, -1.048453212, 
                               -4.225459576, 0.173920691, 1.876976371, -9.11947155, -1.706287026),
                     C1neg = c(1.750265002, 0.539065838, 1.20452559, 8.391399384, -3.758603573, 
                               -7.326891422, 0.790130436, -9.11947155, -1.592002392, -12.188085556, 
                               -10.428559303),
                     A1pos = c(-0.660317183, 3.498036146, 22.003242493, 19.905063629, 
                               -3.124288321, 11.968006134, 5.838645935, 5.140467644, 5.154311657, 
                               2.298083067, 1.164232969),
                     B1pos = c(-12.805168152, -1.550003886, 
                               45.990013123, 15.915545464, -1.67797184, 7.565258026, 10.635170937, 
                               12.769438744, 11.738276482, 4.544145107, 0.230011433),
                     C1pos= c(-1.550003886, 1.164232969, 11.738276482, 5.838645935, -12.805168152, 
                              -0.660317183, 22.003242493, 19.905063629, 0.230011433, 7.565258026, 
                              5.154311657)),

                .Names = c("A1neg", 
                           "B1neg",
                           "C1neg",
                           "A1pos",
                           "B1pos",
                           "C1pos"),
                class = "data.frame", row.names = c("1", 
                                                    "11", "21", "31", "41", "51", "61", "71", "81", "91", "101"))

condition <- ordered(rep(c("A", "B", "C"), c(2)),
                     levels=c("A", "B", "C"))
reg <- factor(rep(c("neg", "pos"), c(3,3)),
              levels=c("neg", "pos"))
idata<-data.frame(condition, reg)
idata

mod.ok<-lm(cbind(A1neg,B1neg,C1neg, A1pos,B1pos,C1pos) ~ 1, data=h2)
(av.ok<-Anova(mod.ok, idata=idata, idesign=~condition*reg))
summary(av.ok)

Ahora se muestra el resultado de la prueba de Mauchly y el Greenhouse-Geisser corrección.

Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assuming Sphericity

                   SS num Df Error SS den Df      F  Pr(>F)  
(Intercept)    248.91      1  1158.47     10 2.1486 0.17342  
condition       20.52      2   875.91     20 0.2342 0.79333  
reg           1571.69      1  1789.74     10 8.7817 0.01421 *
condition:reg   82.27      2  1244.02     20 0.6613 0.52710  
---
Signif. codes:  0 ‘***' 0.001 ‘**' 0.01 ‘*' 0.05 ‘.' 0.1 ‘ ' 1


Mauchly Tests for Sphericity

              Test statistic p-value
condition            0.97043 0.87365
condition:reg        0.48792 0.03959


Greenhouse-Geisser and Huynh-Feldt Corrections
 for Departure from Sphericity

               GG eps Pr(>F[GG])
condition     0.97128     0.7872
condition:reg 0.66134     0.4719

               HF eps Pr(>F[HF])
condition     1.20188     0.7933
condition:reg 0.72312     0.4838