Si usted tiene el libro, es la proposición 2 de la sección 5.3. Si no, la proposición dice:
Dados dos puntos cualesquiera p y q $\in$ regular, conectado a la superficie S, existe un parametrizada por tramos curva diferenciable de unirse a p a q.
Ahora la prueba comienza como sigue:
Desde S está conectado, existe una curva continua $\alpha:[a,b] \rightarrow S$ con $\alpha(a)=p$ e $\alpha (b)=q$. Esta es la parte en la lucha con. A mí me parece que Do Carmo es la afirmación de que la superficie está en camino de los hechos, lo que no es cierto, desde conectado no implica ruta de acceso conectado en general subconjuntos de $\mathbb R^n$ donde todas las superficies de vivir. Pensé que tal vez algo de la regularidad podría resolver este problema, pero aquí está la definición de la regularidad.
Una superficie es regular si para cada punto de $p$ en la superficie, hay un barrio $V$ en $\mathbb R^3$ y un mapa de la $x:U\rightarrow V \cap S$ donde $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb R^2$, de modo que $x$ es en lo que los siguientes son satisfechos:
1) $x$ es diferenciable.
2) $x$ tiene un continuo inversa (es decir, es un homeomorphism)
3) $x$ tiene un uno-a-uno diferencial.
No veo por qué esto debe de hacerme la ruta de conexión. Me siento como la condición de que $U$ es cualquier subconjunto abierto de $\mathbb R^2$ me permite elegir una lo suficientemente feo establecer y definir una superficie como una función de ese conjunto abierto a $\mathbb R^3$ que va a satisfacer estas propiedades, pero todavía no he encontrado un ejemplo.
Así que, en resumen, la pregunta es, ¿cuál es la justificación para decir conectividad $\implies$ ruta de acceso-conexión en esta prueba?
