El Total de la variación de la desigualdad para el producto de la medida

Question

Deje $\mu_i,\nu_i$ probabilidad de ser medida en un espacio finito $\Omega_i,i=1,2,\dots,n$. Definir $\mu=\prod\limits_{i=1}^{n}\mu_i$ e $\nu=\prod\limits_{i=1}^{n}\nu_i$ a $\Omega=\prod\limits_{i=1}^{n}\Omega_i$, muestran que $$\|\mu-\nu\| \le \sum\limits_{i=1}^{n}\|\mu_i-\nu_i\|$$ donde $\|\mu-\nu\|$ el valor del total de la variación de la distancia entre el $\mu$ e $\nu$.

Yo sé cómo hacer esto utilizando el acoplamiento, hay una manera de hacerlo sin el acoplamiento?

Trato de escribir $$\|\mu-\nu\|={1 \over 2}\sum\limits_{x=(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \Omega}|\prod\limits_{i=1}^{n}\mu_i(x_i)-\prod\limits_{i=1}^{n}\nu_i(x_i)|$$

y utilice el hecho de que $\prod\limits_{i=1}^{n}\mu_i \le \sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i$ e $\prod\limits_{i=1}^{n}\nu_i \le \sum\limits_{i=1}^{n}\nu_i$, pero no tuve éxito.

Answer 1

Esto es una consecuencia directa del hecho de que para todos no negativos $a_i$ e $b_i$, $$|(a_1\cdots a_n)-(b_1\cdots b_n)|\leqslant\sum\limits_{i=1}^n|a_i-b_i|\,(a_1\cdots a_{i-1})(b_{i+1}\cdots b_n). $$ Por lo tanto, $$ 2\|\mu-\nu\|=\sum\limits_x\left|\mu_1(x_1)\cdots\mu_n(x_n)-\nu_1(x_1)\cdots\nu_n(x_n)\right|\leqslant\sum\limits_{i=1}^n\Delta_i, $$ con $$ \Delta_i=\sum\limits_{x_i}|\mu_i(x_i)-\nu_i(x_i)|\,\sum\limits_{\widehat x_i}\mu_1(x_1)\cdots\mu_{i-1}(x_{i-1})\nu_{i+1}(x_{i+1})\cdots\nu_n(x_n), $$ donde $\widehat x_i=(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$. Cada suma de $\widehat x_i$ es un producto de masas de probabilidad medidas de ahí $$ \Delta_i=\sum\limits_{x_i}|\mu_i(x_i)-\nu_i(x_i)|=2\|\mu_i-\nu_i\|, $$ y listo.

Edición de La primera desigualdad es una consecuencia de la desigualdad triangular entre los números de $(c_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ definido por $c_i=(a_1\cdots a_{i})(b_{i+1}\cdots b_n)$ para $1\leqslant i\leqslant n-1$, $c_0=b_1\cdots b_n$ y $c_n=a_1\cdots a_n$, ya que para cada $1\leqslant i\leqslant n$, $$ c_{i}-c_{i-1}=(a_{i}-b_{i})(a_1\cdots a_{i-1})(b_{i+1}\cdots b_n). $$

Answer 2

En primer lugar, observe que la diferencia de las dos medidas de probabilidad es una firma de medida de la variación total en la mayoría de las $2$.

Por lo tanto el problema se reduce a mostrar que la $\|\mu\|\leq\sum\limits_{i=1}^{n}\|\mu_i\|$ para firmó medidas de $\mu_i$ en espacios finitos $\Omega_i$ con $\|\mu_i\|\leq 2$.

Voy a mostrar cómo hacer el caso de $n=2$.

A continuación, tenemos que demostrar que $$ \sum\limits_{x\in\Omega_1,y\in\Omega_2} \lvert\mu_1(x)\mu_2(y)\rvert\leq \sum\limits_{x\in\Omega_1} \lvert\mu_1(x)\rvert +\sum\limits_{y\in\Omega_2} \lvert\mu_2(y)\rvert. $$ Pero esta desigualdad es equivalente a $$\|\mu_1\|\cdot\|\mu_2\|\leq\|\mu_1\|+\|\mu_2\|,$$ que se comprueba fácilmente usando $\|\mu_i\|\leq 2$:

Edit: La última desigualdad se puede ver de la siguiente manera: $$ \|\mu_1\|\cdot\|\mu_2\|\leq\|\mu_1\|^2/2+\|\mu_2\|^2/2\leq\|\mu_1\|+\|\mu_2\|. $$