Raíces de $x^x-\tan (x)$

Question

Conjeturo que la función $f(x)=x^x-\tan x$ tiene exactamente una raíz en cualquiera de los intervalos $\left[\dfrac{2n+1}{2}\pi,\dfrac{2n+3}{2}\pi\right]$ , donde $n$ es un número entero no negativo. ¿Alguien conoce una prueba?

He probado el truco utilizando la función $g(x)=\log\left(\dfrac{x^x}{\tan x}\right)$ que tiene las mismas raíces, pero tampoco ayudó.

Answer 1

Pista: la ecuación es equivalente a $$\cot x=x^{-x}$$