Resolvent Operador en QM

Question

En una conferencia, el tutor menciona que

"cuando la energía discreta espectro continuo y los polos de la resolvent reducir el tamaño en una línea continua. Por lo tanto se convierte en una rama cortada".

Esto no es claro para mí. Entiendo que los polos de la resolvent son los autovalores de la energía, pero ¿cómo es que la singularidad de convertirse en un punto de ramificación en el caso continuo? Sería genial si alguien pudiera hacer esto claro para mí.

Answer 1

Como muy bien explicados por Ron Maimón en esta respuesta, uno puede pensar de una rama cortada como una línea continua de cada uno de los polos con un infinitesimal de residuos. Por ejemplo, citando a él, $$\int_a^b \frac{1}{z-u} \mathrm du= \log \left( \frac{z-a}{z-b} \right)$$ con el último, de hecho, tienen una sucursal de corte entre el $z =a $ e $z=b$.

Por ejemplo, si $b= - a$, el multi-función con valores en el lado derecho se ve como

(imagen cortesía de MIT OpenCourseWare)