Innumerables producto Cartesiano de intervalo cerrado

Question

Tengo una pregunta sobre el producto de la topología.

Supongamos $I=[0,1]$, es decir, un intervalo cerrado con la topología usual. Podemos construir un espacio del producto $X=I^I$, es decir, innumerables producto Cartesiano de intervalo cerrado. Es $X$ primer contables?

He leído Contraejemplos de Topología, en el artículo 105, se trata de $I^I$. Yo no entiendo muy bien la prueba dada en el libro. Alguien puede dar más detalles de la prueba?

Answer 1

No es.

Echemos un vistazo a abrir los conjuntos que contienen 0 (secuencia de 0s).

Vamos a discutir por contradicton, así que supongamos que hay un local de barrio base $U_i$ 0. Cada una de dichas $U_i$ contiene algunos $V_i = \prod_{r} V_{i,r}$ donde $V_{i,r} = I$ para casi todos los $r$, $V_{i,r}$ abrir. (Por la definición de producto de la topología).

Veamos el conjunto de todos los $r$ que $V_{i,r} \neq I$ para algunos $i$.

Este conjunto es contable, porque es una contables suma de conjuntos contables. Así que no es del todo de $I$. Vamos a elegir algunos $r_0$ fuera de este conjunto.

Deje $H = \prod_r H_r$ donde $H_{r_0} = [0, 1/2)$ e $H_{r} = I$ lo contrario.

A continuación, $H$ es un conjunto abierto que contiene $0$, no figura en ninguna de $U_i$, contradiciendo primera countability a 0.

Answer 2

Deje $x \in I^I$ y asumen $I^I$ tiene una contables base $\langle A_n \rangle_{n\in \omega}$ a $x.$

Deje $s_n$ el conjunto $i\in I$ de manera tal que el $i$-ésima coordenada de proyección de mapa de $\pi_i: A_n \rightarrow I$ no es surjective. Como cada una de las $A_n$ está abierto, el conjunto $s_n$ es finita para todas las $n.$ Es de la siguiente manera $s := \cup_{n\in \omega} s_n$ es contable.

Como $I$ es incontable, se deduce $I\setminus s$ es no vacío. Elija un elemento $i\in I\setminus s.$ Definir para cada una de las $j\in I$ un conjunto $X_j$ tal que $X_j = I$ si $j \neq i$ e $(\pi_i(x) - 1/2,\pi_i(x) + 1/2) \cap I$ lo contrario.

A continuación, $X := \prod_{j \in I} X_j$ es abierto y contiene $x$ pero no está contenido en $A_n$ cualquier $n.$ Esto contradice el hecho de $\langle A_n \rangle_{n\in \omega}$ se supone que es una base de a $x.$

De ello se desprende $I^I$ no sólo no es la primera contable, pero $I^I$ no tiene una contables de base en cualquier momento.