Un valor propio simple es estable.

Question

Decimos que un valor propio $\lambda$ de una matriz cuadrada $A$ es simple si $\det(A-\lambda I)=0$ pero $$\displaystyle\frac{d}{d\lambda} \det(A-\lambda I)\not =0 $$

Demostrar que existe un $r>0$ , $c>0$ tal que para cada $A'$ matriz cuadrada tal que $\lVert A-A'\rVert<r$ tiene un valor propio simple $\lambda'$ tal que $$\lvert\lambda-\lambda'\rvert\leq C \lVert A-A'\rVert$$

Para demostrar esto he tratado de probar que la función $$f(\lambda)=\lambda-k^{-1}\det(I-\lambda A) $$ donde $k=\frac{d}{d\lambda} \det(A'-\lambda I)$ es una contracción en una vecindad adecuada de $\lambda_0$ y una vecindad adecuada de $A$ y $A'$ pertenece a este barrio.

Pero estoy atascado en la concreción de esta idea. ¿Algún consejo?

( $\lVert A\rVert$ es la norma de $A$ como operador $\sup_{\lVert x\rVert=1}\lvert Ax \rvert$ )

Answer 1

Mi análisis está oxidado, pero creo que los siguientes argumentos funcionan.

Para todos $B\in Mn(\mathbb{R})$ utilizando la norma del operador, y para todo $s\in \mathbb{C}$ , defina $$f(B,s) = \det(B-sI).$$ Entonces $f$ es una variable continua (con respecto a la Derivada de Frechet ) definida en todos los $Mn(\mathbb{R})\times \mathbb{C}$ . Además, tenemos que $$f(A,\lambda) = 0\mbox{ and }\frac{\partial}{\partial s} f(B,s)|_{(A,\lambda)} =a\neq 0,$$ donde $Ax=\lambda x$ y $\lambda$ es un valor propio simple de $A$ . Por lo tanto, $s\mapsto f(B,s)|_{(A,\lambda)}\cdot(0,s)=(0,as)$ es un isomorfismo de Banach de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ . Por lo tanto, por la teorema de la función implícita (definida para los espacios de Banach) existe una vecindad abierta $U_0$ de $A$ en $Mn(\mathbb{R})$ tal que para todas las bolas abiertas $U\subset U_0$ que contiene $A$ existe una única función continuamente diferenciable $u: Mn(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}$ tal que $u(A) = \lambda$ , $(B, u(B)) \in Mn(\mathbb{R})\times \mathbb{C}$ y $f(B, u(B)) = 0$ para todos $B\in U$ . Sea $U$ sea una bola con radio $\epsilon$ . Elija $\epsilon>r>0$ tal que para todo $B$ donde $||A-B||\leq r$ tenemos que $B\in U$ . Entonces existe un $C$ limitando la derivada $Du(B)$ con respecto a la norma del operador y tenemos para $\mu=u(B)$ que $$|\lambda - \mu| \leq C ||A-B||$$ como se desee.