Pregunta sobre la representación unitaria de la no-compacto simple Mentira grupos

Question

El siguiente es un ejercicio que aparezca la página 148 en Knapp del libro, teoría de la representación de semisimple grupos.

Deje $G$ ser conectado lineal no-compacto de Lie de un grupo con la simple Mentira álgebra $\mathfrak g$. Deje $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$ ser el Cartan descomposición de $\mathfrak{g}$. Tenemos $[\mathfrak{p},\mathfrak{p}]=\mathfrak{k}$ desde $\mathfrak{g}$ es simple.

Demostrar que cualquier finito dimensionales uniatry representación de $G$ es trivial.

Cómo demostrarlo ?

Answer 1

$\def\ub{\mathfrak{ub}} \def\g{\mathfrak{g}}$

Supongamos que existe un no-trivial $n$-dimensiones unitaria representación de $G$ es decir, un homomorphism de Mentira grupos de $G$ a $SU(n)$. Entonces, desde el $\su(n)$ es una simple Mentira álgebra, la inducida por el mapa de $\g \rightarrow \su(n) $ es un isomorfismo. Por lo tanto, el mapa de $G$ a $SU(n)$ ha discretos núcleo y es surjective (como $SU(n)$ está conectado).Esto implica que $G$ es una cubierta de grupo de $SU(n)$.

Sin embargo, tenga en cuenta que $SU(n)$ es un grupo compacto, y el grupo fundamental de grupos compactos que es finito. Por lo tanto, $G$ es un producto de fibra de compacto $SU(n)$ y un número finito (y por lo tanto compacto) del grupo. Por lo tanto, $G$ es compacto, por una variación de el teorema de Tychonoff de productos de espacios compactos. Esta es una contradicción. Por lo tanto, $G$ no tiene un trivial finito dimensionales unitaria de representación.

EDIT: he cometido un gran error en el párrafo anterior. El mapa de $\g \rightarrow \su(n)$ sólo es inyectiva, no surjective. Por lo tanto, solo podemos cubrir con un mapa de $G$ sobre la conexión de un subgrupo de $SU(n)$. Esto muestra que la existencia de una representación unitaria de un conectada, noncompact, "simple" Mentira grupo $G$ es equivalente a la existencia de un noncompact, conectado, "simple" subgrupo de $SU(n)$ para algunos $n.$ no puedo pensar en una explicación de por qué un subgrupo no existe.