Encontrar el límite de $(1-\frac{1}{n})^{n}$

Question

¿Cómo podría uno encontrar el límite de

$(1-\frac{1}{n})^{n}$

Sé

$(1+\frac{1}{n})^{n}$

tiene límite de $e^n$

pero a la derecha hay un signo menos mantener el límite de ser utilizado.

otro problema que estoy cuestionando es encontrar el límite de

$\frac{n!}{2n}$

por supuesto

$\frac{x^n}{n!}$ tiene un limt de cero, pero aquí lo opuesto

Answer 1

Usted puede obtener el límite de

$$\left(1-\frac1n\right)^n$$

fácilmente desde el que usted conoce, $\left(1 + \frac1n\right)^n \to e$, señalando

$$1 - \frac1n = \frac{n-1}{n} = \frac{1}{\left(\frac{n}{n-1}\right)} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)}.$$

A continuación, puede escribir

$$\left(1 - \frac1n\right)^n = \left(1-\frac1n\right)\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}},$$

donde el primer factor, obviamente, converge a $1$, y la segunda converge a $\frac{1}{e}$ por lo que ya sabes.

Answer 2

Por otro utilizar la definición de $n!$. De hecho:

$$\frac{n!}{2n}>>n$$

Answer 3

El resultado de que el límite es $e^{-1}$ no $e^n$. Deje $y= (1-\frac{1}{n})^n$ o $\ln y= n\ln (1-\frac{1}{n})$. Desde $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n\ln (1-\frac{1}{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln (1-\frac{1}{n})}{1/n}=-1$ por L'Hospital de la regla, por lo $y=\frac{1}{e}$. El otro límite es el infinito: $\lim\frac{n!}{x^n}=\lim\frac{1}{\frac{x^n}{n!}}=\infty$. De la misma manera desde $\lim\frac{2n}{n!}=0$, tenemos $\lim\frac{n!}{2n}=\infty$.