Es la intersección de los conjugados de un subnormal subgrupo de primer índice de poder también un subgrupo de primer índice de poder?

Question

Me estaba preguntando si es realmente el caso que, si $G$ es un grupo con subgrupos $H$ e $N$ tal que $H\unlhd N\unlhd G$ tal que $G/N$ e $N/H$ es $p$-grupo, entonces la intersección de todos los conjugados de la $H$ en $G$ es de $p$th índice de poder.

Este problema en realidad proviene de una Teoría de Galois problema, que pide probar que si $F\hookrightarrow K\hookrightarrow L$ son campo de las extensiones que $K$ es de Galois sobre $F$, e $L$ es de Galois sobre $K$, ambos con $p$ grupos como grupos de Galois, entonces el Galois cierre de $L$ sobre $F$ también tiene un $p$ grupo como grupo de Galois.

La teoría de Galois solución es tener en cuenta que el $L$'s de Galois de cierre es el compuesto campo de los conjugados de la $L$ en una clausura algebraica de $F$, y utilice el hecho de que el grado de un compuesto de extensión se divide el producto de los grados de cada compuesto factor. Pero me preguntaba si había una puramente grupo teórico de la prueba de (lo que creo que es) la correspondiente declaración expresa en términos de los grupos de Galois.

Answer 1

Esto se deduce de la siguiente observación.

Lema. Deje $G$ ser un grupo finito. Suponga que $H_1\unlhd G$ e $H_2\unlhd G$ ambos tienen índice que es una potencia de un primo $p$. A continuación,$H_1\cap H_2\unlhd G$, e $[G:H_1\cap H_2]$ es también un poder de $p$.

Prueba. La normalidad de las $H_1\cap H_2$ en $G$ es obvia. También sabemos que $H:=H_1H_2$ es un subgrupo normal de $G$. Debido a $H_1\subseteq H\subseteq G$ el índice de $[H:H_1]$ es una potencia de $p$. Por uno de los fundamentales isomorphisms tenemos $$ H/H_1\cong H_2/H_1\cap H_2. $$ Por lo tanto, $[H_2:H_1\cap H_2]$ es una potencia de $p$ así. A partir de la fórmula $$ [G:H_1\cap H_2]=[G:H_2]\cdot[H_2:H_1\cap H_2] $$ podemos entonces inferir que $[G:H_1\cap H_2]$ es una potencia de $p$. Q. E. D.

Una inducción, a continuación, demuestra el Corolario de que cualquier finito intersección de la normal de subgrupos de $p$-potencia índices también ha $p$-índice de poder. El Lema es tanto el caso base y el paso inductivo.

Volviendo a la reclamación en la mano. La conjugación por un elemento $g\in G$ es un automorphism de $N$, por lo que todos los grupos de $H^g$ son subgrupos normales de $N$ de $p$-índice de poder. Aplicando el Corolario $N$ y todos los conjugados $H^g$ a continuación, muestra que $[N:\operatorname{core}_G(H)]$ es una potencia de $p$. El principal reclamo de la siguiente manera a partir de este.

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Mi anterior solución (que es conceptualmente más complicado) striked a continuación. Salir de aquí, porque algunos de mis álgebra estudiantes se esconden (o incluso participar!) aquí, y quiero que 1) saben que me tienen puntos ciegos, 2) desarrollar un deseo de encontrar soluciones a HW tareas que son mejores que lo que yo tenía en mente.

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Deje $q$ ser un primo, $q\neq p$. Deje $Q$ ser un Sylow $q$-subgrupo de $G$. Debido a $[G:N]$ es una potencia de $p$, el Sylow $q$-subgrupos de $N$ tiene el mismo tamaño de Sylow $q$-subgrupos de $G$. Por lo tanto $N$ contiene un conjugado de $Q$. Pero $N\unlhd G$, lo que en realidad lo $Q\le N$.

Así que todos los Sylow $q$-subgrupos de $G$ están contenidas en $N$. Por lo que son de Sylow $q$-subgrupos de $N$.

Deje $H ^g$ ser arbitraria conjugado de $H$. Debido a la conjugación por $g$ es un automorphism de $N$, podemos deducir que $H^g\unlhd N$ e $[N:H^g]$ es una potencia de $p$. Repitiendo el argumento anterior nos dice que $H^g$ contiene todos los Sylow $q$-subgrupos de $N$, es decir, todos los Sylow $q$-subgrupos de $G$. Como esto vale para todos los $g$ la intersección $$ \operatorname{core}_G(H)=\bigcap_{g\in H}H^g $$ a continuación, contiene todos los Sylow $q$-subgrupos de $G$. Por lo tanto $[G:\operatorname{core}_G(H)]$ es coprime a $q$.

El argumento funciona para todos los números primos $q\neq p$, por lo que podemos concluir que $[G:\operatorname{core}_G(H)]$ debe ser una potencia de $p$.