Cómo Probar que $(A ∪ B) \setminus (A ∩ B) = (A \setminus B) ∪ (B \setminus A)$

Question

Aquí es lo que yo quiero probar

$$(\mathsf A \cup \mathsf B)\setminus(\mathsf A \cap \mathsf B)=(\mathsf A\setminus\mathsf B)\cup(\mathsf B\setminus\mathsf A)$$

Y aquí es lo que he conseguido hasta ahora

$$ \begin{align*} (\mathsf A \cup \mathsf B)\setminus(\mathsf A \cap \mathsf B) &= (\mathsf A \cup \mathsf B)\cap(\mathsf A \cap \mathsf B)^\mathsf C \\ &=(\mathsf A \cup \mathsf B)\cap(\mathsf A^\mathsf C\cup\mathsf B^\mathsf C) \\ &=((\mathsf A \cup \mathsf B)\cap\mathsf A^\mathsf C)\cup((\mathsf A \cup \mathsf B)\cap\mathsf B^\mathsf C) \end{align*} $$

A partir de este punto, no puedo averiguar cómo probar que el Lado Izquierdo (LI) es igual a $(\mathsf A\setminus\mathsf B)\cup(\mathsf B\setminus\mathsf A)$

Answer 1

Considere la posibilidad de que $$ (A\cup B)\cap a^C=(A\cap a^C)\cup(B\cap a^C)=\emptyset\cup B\setminus A) $$ Lo mismo para el otro término.

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Por otro lado, un "no algebraicas" prueba puede ser más fácil.

Supongamos $x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)$. A continuación, $x\in A$ o $x\in B$, pero $x\notin A\cap B$. Si $x\in A$,, a continuación,$x\notin B$, lo $x\in A\setminus B$. Si $x\in B$,, a continuación,$x\notin A$, lo $x\in B\setminus A$.

Por el contrario, supongamos $x\in (A\setminus B)\cup(B\setminus A)$. A continuación, $x\in A\setminus B$ o $x\in B\setminus A$. De ello se desprende que $x\in A\cup B$. Si $x\in A\setminus B$,, a continuación,$x\notin A\cap B$; si $x\in B\setminus A$,, a continuación,$x\notin A\cap B$.

Answer 2

Eran casi allí! Resulta que $(A\cup B)\cap A^C=B\setminus A$ y $(A\cup B)\cap B^C=A\setminus B$.