Armónica de funciones y del teorema de Cauchy

Question

Esta es una duda de la mina sobre los fundamentos del análisis complejo.

Me encontré con una determinada declaración que implican la integración de una función armónica, que sería bueno para mi investigación trata de ser probadas. Cuando me fortaleció la suposición de que la función es holomorphic, podía fácilmente hacer uso del teorema de Cauchy. Siempre es posible tratar a un armónico de la función como la parte real o imaginaria de un holomorphic función, y sacar las consecuencias del teorema de Cauchy?

Answer 1

Si $f$ es una función armónica en un simplemente conectado dominio, entonces es la parte real o imaginaria de un holomorphic función.

Si el dominio no está simplemente conectado y luego el de arriba no puede ser cierto. Considere la posibilidad de $f(x,y)=\log(\sqrt{x^2 +y^2})$ en el perforado de la unidad de disco.