Yo estaba tratando de mostrar que un toro se homeomórficos a $S^1 \times S^1$ , traté de trabajar con el grupo fundamental de ambos, que son iguales, pero eso no implica que se están homeomórficos, (al menos yo no lo tomó aún )así que estoy atrapado no puedo pensar en otra cosa , Puedo ver geométricamente cómo los círculos forman el toro , pero no puedo escribirlo . Alguien me puede ayudar por favor ?
Respuestas
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Sugerencia:
El estándar de la parametrización de un toro en $\mathbb{R}^3$ es $$ (\theta,\phi)\mapsto ((r+a\cos\theta) \cos\phi,( r+a\cos\theta )\sin\phi, a \sin\theta)$$
Esto puede escribirse como $$ (\theta,\phi)\mapsto (r\cos\phi,r\sin\phi,0) + \big[a\cos\theta(\cos\phi,\sin\phi,0) + a\sin\theta(0,0,1)\big]. $$
Mirar en esta duro, y recuerda que $\phi$ e $\theta$ ejecutar entre el $0$ e $2\pi$. ¿Puedes ver cómo esto contesta a tu pregunta?
(Siempre se puede calcular el Jacobiano, muestran que en todas partes es invertible, y observar que la función es inyectiva en $[0,2\pi]\times[0,2\pi]$, pero que es mucho menos satisfactorio que ver exactamente cómo esta parametrizes una copia de $S^1\times S^1$.)
Joe S
Puntos
639
El toro puede ser definido como un cuadrado con bordes opuestos identificado. Puede ser realizado geométricamente como la imagen del mapa del plano en 4 espacio definido por
$$(x,y) \rightarrow (\sin(x), \cos(x), \sin(y), \cos(y))$$
Este mapa es 2 pi periódico en ambos x e y y por lo tanto define un suave bijective mapa de S1×S1 en el toro en 4 espacio.
