Prueba $\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} \equiv \csc\theta + \cot\theta$

Question

Esto debe demostrarse utilizando las identidades trigonométricas elementales.

No he podido llegar a ningún punto que me parezca lo suficientemente útil como para incluirlo en este post.

Answer 1

Multiplica el LHS por $1+\cos\theta$ produce \begin {align} \frac { \sin\theta }{1- \cos\theta } \cdot\frac {1+ \cos\theta }{1+ \cos\theta }&= \frac { \sin\theta (1+ \cos\theta )}{1- \cos ^2 \theta } \\ &= \frac { \sin\theta (1+ \cos\theta )}{ \sin ^2 \theta } \qquad ; \qquad\color {rojo}{ \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta =1} \\ &= \frac {1+ \cos\theta }{ \sin\theta } \\ &= \frac {1}{ \sin\theta }+ \frac { \cos\theta }{ \sin\theta } \\ &= \color {Azul}{ \csc\theta + \cot\theta }. \qquad\qquad\blacksquare \end {align}

Answer 2

Deshagámonos primero de las cosas de la trigonometría:

$$s=\sin(\theta),c=\cos(\theta),\csc(\theta)=\frac{1}{s},~~\cot(\theta)=\frac{c}{s}$$

Ahora resolvemos esta ecuación:

$$\frac{s}{1-c}=\frac{1}{s}+\frac{c}{s}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$\frac{s}{1-c}-\frac{1}{s}-\frac{c}{s}=0$$

multiplicar por $(1-c)\neq 0$

$$s-\frac{1-c}{s}-\frac{(1-c)c}{s}=0$$

multiplicar por $s\neq 0$

$$s^2-(1-c)-(1-c)c = s^2-1+c-c+c^2 =0\Leftrightarrow s^2+c^2=1$$

Las únicas soluciones a esta ecuación algebraica son $s=\sin(\theta)$ y $c=\cos(\theta)$ .