¿Cuál es el 90º derivado de$\cos(x^5)$ donde x = 0?

Question

Tratando de averiguar cómo calcular el 90º derivado de$\cos(x^5)$ evaluado en 0. Esto es lo que intenté, pero creo que debí haber hecho algo mal o no estoy entendiendo algo fundamental:

$\cos(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} {(x)}^{2n}$

$\cos(x^5) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} {(x^5)}^{2n}=$

$1-\dfrac{{x^{5\cdot2}}}{2!}+\dfrac{{x^{5\cdot4}}}{4!}-\dfrac{{x^{5\cdot6}}}{6!}+...-\dfrac{{x^{5\cdot18}}}{18!}+...-\dfrac{{x^{5\cdot90}}}{90!}+...+\dfrac{{x^{5\cdot190}}}{180!}+...$

$f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot {x^{n}} $

$\dfrac{f^{90}(0)}{90!}\cdot {{x^{90}}} = -\dfrac{{x^{5\cdot18}}}{18!}$

${f^{90}(0)} = -\dfrac{90!}{18!}$

Wolfram lo tiene en un número negativo muy grande.

Answer 1

La serie de Taylor es el camino correcto, sin embargo, debe tener cuidado al obtener la serie de Taylor para$\cos x^5$.

Desde que tenemos $\cos \theta = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n\theta^{2n}}{(2n)!}$

El$f(x) = \cos x^5 = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n(x^5)^{2n}}{(2n)!} = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{10n}}{(2n)!}$ - coeficiente se encuentra solo en el término$x^{90}$, así que tenemos$n = 9$.

Ahora, solo resuelva para$\dfrac{f^{(90)}(0)}{90!}x^{90} = \dfrac{(-1)^9x^{90}}{18!}$.

Answer 2

$$\cos(x^5) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} {(x^5)}^{2n}=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{10n}$$

Para obtener el coeficiente de $x^{90}$ en esta serie, sólo hay que poner $n=9$ conseguir $\dfrac{(-1)^9}{18!}$ (creo que aquí es donde usted salió mal). Ahora si a diferenciar la serie $90$ tiempos, y establecer $x=0$, el único no-cero término es $$\dfrac{(-1)^990!}{18!}$$

Answer 3

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\ \cos\left(f(x)\right) = - f'(x)\cdot\sin\left(f(x)\right)$$