Si el promedio de una secuencia converge, ¿el promedio de las raíces cuadradas converge?

Question

Estoy buscando una buena prueba o contraejemplo para la siguiente afirmación:

Si$d_i \in [0,1]$ es tal que$\lim_{n \to \infty} (d_1+...+d_n)/n$ está bien definido, entonces$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{d_1}+...+\sqrt{d_n})/n$ está bien definido.

Answer 1

Para$(2k)! \leqslant n < (2k+1)!$, deje$d_n = \frac{1}{2}$, y para$(2k+1)! \leqslant n < (2k+2)!$ deje$d_n = \frac{1}{2}\bigl(1 + (-1)^n\bigr)$.

Entonces nosotros tenemos

PS

pero

\begin{align} \frac{1}{(2k)!}\sum_{m = 1}^{(2k)!} \sqrt{d_m} &\leqslant \frac{(2k-1)! + \frac{2k-1}{2}(2k-1)!}{(2k)!},\\ \frac{1}{(2k+1)!}\sum_{m = 1}^{(2k+1)!} \sqrt{d_m} &\geqslant \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}2k(2k)!}{(2k+1)!}, \end{align}

asi que

PS