1) Deje$K/k$ un campo de extensión. Si$[K:k]=2$ muestra que hay$a\in K$ st$K=k(\alpha )$ y$\alpha ^2=a$.
2) ¿Funciona para$[K:k]=p$ cuando$p$ es primo? ¿O por otro número? (como no principal)
Mi trabajo
Para 1), si$[K:k]=2$ hay un$a\in K$ que no está en$k$. Sea$X^2-\alpha $ su polinomio mínimo. Entonces$$a^2-\alpha =0\implies (a-\sqrt \alpha )(a+\sqrt \alpha )=0\implies a=\pm\sqrt \alpha $ $
Parece ser muy confuso ... ¿alguna idea?
Usted tiene que tener cuidado en el orden lógico de los argumentos aquí.
Es correcto decir que el $[K:k] = 2$ implica que hay un $a \in K \setminus k$. Si su polinomio mínimo es $X^2 - \alpha$ para$\alpha \in k$, a continuación, que sin duda tienen que $a^2 - \alpha = 0$. Esto implica que $a^2 = \alpha$. Esto significa que $a$ es una raíz cuadrada de $\alpha$ y $-a$ es otro (de hecho, el único) de la raíz cuadrada de $\alpha$ en $K$. En este punto, sin embargo, el símbolo $\sqrt{\alpha}$ es sin sentido, lo creas o no. De no haber elegido cualquier incrustación de $K$ a un campo donde $\sqrt{\alpha}$ ya ha sido definido (por ejemplo, algunos algebraicas cierre de $k$), por lo que aún no está realmente definido. Se podría definir $\sqrt{\alpha} := a$ en $K$ y, a continuación, usted, por supuesto, ha $-\sqrt{\alpha} = -a$, pero hay poco que ganar en este.
En lugar de todo eso, ya que es evidente que hay algún elemento en $K\setminus k$ (es decir,$a$), su única misión es mostrar que, de hecho, $a$ genera la extensión - es decir $K = k(a)$. Esto será cierto, porque la $K$, siendo un campo finito de extensión de $k$ de grado 2, es necesariamente un $k$-espacio vectorial de dimensión $2$. Desde $a \not\in k$, es linealmente independientes de $1 \in k$ e lo $\{1,a\}$ es un máximo linealmente independiente situado en el espacio vectorial $K$ y es por tanto una base. Esto significa que cada elemento de $b \in K$ puede ser escrito como $b = c_1\cdot 1 + c_2\cdot a$ para $c_1, c_2 \in k$. Por lo tanto $K = k(a)$.
En cuanto a tu segunda pregunta, creo que la respuesta que se da aquí es que para 'nice' (extensiones de aquellos que están siendo finito, separables), con la instrucción que sigue siendo cierto. Es decir, una extensión de $K/k$ es generado por un solo elemento (llamado "primitivo elemento'). Este resultado es conocido como el Primitivo Elemento Teorema. La advertencia es que para la extensión de grado mayor que 2, un primitivo elemento no necesita ser un $d^{th}$ raíz de un elemento de la base de campo (por $d$ el grado de la extensión).
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