¿Cómo se puede demostrar que$f(0)=0$ para$f$ que cumple ciertas condiciones?

Question

Dada la ecuación funcional$$f(x+(1+x)f(y))=y+(1+y)f(x)$ $

De modo que$f:(-1,\infty) \to (-1,\infty)$ y la función$g(x):=\frac{f(x)}{x}$ están aumentando estrictamente en$I=(-1,0)\cup(0,+\infty),$ ¿cómo se puede demostrar que por cada$t \in I$ tenemos$f(t)\neq t$?

Al conectar$x=y=0,$ que hace$f(f(0))=f(0).$ ¿Eso significa que$f(0)=0$?

Haciendo$x=y,$$f(x+(1+x)f(x))=x+(1+x)f(x)$ así que hacemos$x+(1+x)f(x)=t$ que hace$f(t)=t$ pero no podemos hacer$t=0$ porque$t$ no está en$I$? Entonces, ¿tengo que usar el hecho de que$\frac{f(x)}{x}$ está aumentando?

Luego, después de todo este trabajo, tenemos que deducir que$f(0)=0$ y$f(x)=\frac{-x}{x+1}$ para$x \in (-1,\infty).$

Answer 1

Creo que esto va a hacer el truco para mostrar que f(0) = 0:

Vamos a empezar por la creación de $x = 0$. Tenemos

$$f(f(y)) = f(0) + (1+f(0))y.$$

Mediante el establecimiento $y = 0$, obtenemos

$$f(x) = f(x + (1+x)f(0)).$$

Ahora se aplican $f$ a la expresión anterior y el uso de la primera ecuación:

$$f(0) + (1+ f(0))x = f(0) + (1+f(0))(x + (1+x)f(0)).$$

Esto se simplifica a

$$(1+x)(1+f(0))f(0) = 0$$ y por lo tanto $f(0) = 0$. También podemos concluir que el $f(f(y)) = y $, por lo que f es su propia inversa.

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Vamos a suponer que hay números de $a,b$ tal que $a < b$ e $f(a) = b$ y $f(b) = a$ ($f$ es su propia inversa). Desde la función

$$ g(x) = \frac{f(x)}{x}$$ es el aumento de la hipótesis. Esto significa que $g(a) \le g(b)$, por lo que

$$\frac{f(a)}{a} \le \frac{f(b)}{b} \iff \frac{b}{a} \le \frac{a}{b} \iff$$ $$\frac{b^2 - a^2}{ab} \le 0 \iff \frac{(b-a)(b+a)}{ab} \le 0 \iff $$ $$ \frac{(b+a)}{ab} \le 0. $$

así que podemos decir que no se puede ser $a,b$ con el mismo signo. Por lo $x$ e $f(x)$ debe tener signos diferentes.

Como OP notado la ecuación $$ f(x+(1+x)f(x)) = x + (1+x)f(x) $$ sostiene. Vamos a denotar $x+ (1+x)f(x)$ as $t$. Entonces la ecuación se dice $f(t) = t$ pero $f(t)$ e $t$ tienen signos diferentes, por lo tanto, $t$ debe ser cero. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $x + (1+x)f(x) = 0$ y la función de $f$ es:

$$ f(x) = -\frac{x}{1+x}.$$