¿Se puede resolver explícitamente el oscilador armónico desplazado?

Question

El oscilador armónico cuántico es descrito por un Hamiltoniano

$$H=-\Delta + \left\lvert x \right\rvert^2.$$

Por la descomposición de la autovalor problema $H\psi= E\psi$ en su angulares y radiales parte se obtiene básicamente de la educación a distancia

$$-\varphi''(r) + \frac{2}{r} \varphi'(r) + \frac{l(l+1)}{r^2} \varphi(r)+r^2\varphi(r)=E\varphi(r).$$

Por favor, hágamelo saber si usted tiene alguna pregunta.

Esta ODA se puede resolver de forma explícita, es decir, se obtiene el habitual funciones propias y valores propios

Me pregunto si se puede resolver también el pasado de la versión

$$-\varphi''(r) + \frac{2}{r} \varphi'(r) + \frac{l(l+1)}{r^2} \varphi(r)+(r-r_0)^2\varphi(r)=E\varphi(r)$$

para algunos $r_0>0.$

No parece posible asignar este uno inmediatamente posterior a la original, es por eso que estoy pidiendo.

Por favor, hágamelo saber si usted tiene preguntas o comentarios.

Answer 1

Sugerencia:

$-\varphi''(r)+\dfrac{2}{r}\varphi'(r)+\dfrac{l(l+1)}{r^2}\varphi(r)+(r-r_0)^2\varphi(r)=E\varphi(r)$

$\dfrac{d^2\varphi}{dr^2}-\dfrac{2}{r}\dfrac{d\varphi}{dr}-\left(r^2-2r_0r+r_0^2-E+\dfrac{l(l+1)}{r^2}\right)\varphi=0$

Deje $\varphi=e^{\pm\frac{r^2}{2}}u$ ,

A continuación, $\dfrac{d\varphi}{dr}=e^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{du}{dr}\pm re^{\pm\frac{r^2}{2}}u$

$\dfrac{d^2\varphi}{dr^2}=e^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{d^2u}{dr^2}\pm re^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{du}{dr}\pm re^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{du}{dr}+(r^2\pm1)e^{\pm\frac{r^2}{2}}u=e^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{d^2u}{dr^2}\pm2re^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{du}{dr}+(r^2\pm1)e^{\pm\frac{r^2}{2}}u$

$\therefore e^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{d^2u}{dr^2}\pm2re^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{du}{dr}+(r^2\pm1)e^{\pm\frac{r^2}{2}}u-\dfrac{2}{r}\left(e^{\pm\frac{r^2}{2}}\dfrac{du}{dr}\pm re^{\pm\frac{r^2}{2}}u\right)-\left(r^2-2r_0r+r_0^2-E+\dfrac{l(l+1)}{r^2}\right)e^{\pm\frac{r^2}{2}}u=0$

$\dfrac{d^2u}{dr^2}+2\left(\pm r-\dfrac{1}{r}\right)\dfrac{du}{dr}+\left(2r_0r-r_0^2+E\mp1-\dfrac{l(l+1)}{r^2}\right)u=0$

Deje $u=e^{\mp r_0r}v$ ,

A continuación, $\dfrac{du}{dr}=e^{\mp r_0r}\dfrac{dv}{dr}\mp r_0e^{\mp r_0r}v$

$\dfrac{d^2u}{dr^2}=e^{\mp r_0r}\dfrac{d^2v}{dr^2}\mp r_0e^{\mp r_0r}\dfrac{dv}{dr}\mp r_0e^{\mp r_0r}\dfrac{dv}{dr}+r_0^2e^{\mp r_0r}v=e^{\mp r_0r}\dfrac{d^2v}{dr^2}\mp 2r_0e^{\mp r_0r}\dfrac{dv}{dr}+r_0^2e^{\mp r_0r}v$

$\therefore e^{\mp r_0r}\dfrac{d^2v}{dr^2}\mp 2r_0e^{\mp r_0r}\dfrac{dv}{dr}+r_0^2e^{\mp r_0r}v+2\left(\pm r-\dfrac{1}{r}\right)\left(e^{\mp r_0r}\dfrac{dv}{dr}\mp r_0e^{\mp r_0r}v\right)+\left(2r_0r-r_0^2+E\mp1-\dfrac{l(l+1)}{r^2}\right)e^{\mp r_0r}v=0$

$\dfrac{d^2v}{dr^2}\pm2\left(r-r_0\mp\dfrac{1}{r}\right)\dfrac{dv}{dr}+\left(E\mp1\pm\dfrac{2r_0}{r}-\dfrac{l(l+1)}{r^2}\right)v=0$

Deje $v=r^kw$ ,

A continuación, $\dfrac{dv}{dr}=r^k\dfrac{dw}{dr}+kr^{k-1}w$

$\dfrac{d^2v}{dr^2}=r^k\dfrac{d^2w}{dr^2}+kr^{k-1}\dfrac{dw}{dr}+kr^{k-1}\dfrac{dw}{dr}+k(k-1)r^{k-2}w=r^k\dfrac{d^2w}{dr^2}+2kr^{k-1}\dfrac{dw}{dr}+k(k-1)r^{k-2}w$

$\therefore r^k\dfrac{d^2w}{dr^2}+2kr^{k-1}\dfrac{dw}{dr}+k(k-1)r^{k-2}w\pm2\left(r-r_0\mp\dfrac{1}{r}\right)\left(r^k\dfrac{dw}{dr}+kr^{k-1}w\right)+\left(E\mp1\pm\dfrac{2r_0}{r}-\dfrac{l(l+1)}{r^2}\right)r^kw=0$

$\dfrac{d^2w}{dr^2}\pm2\left(r-r_0\mp\dfrac{k-1}{r}\right)\dfrac{dw}{dr}+\left(E\pm2k\mp1\mp\dfrac{2r_0(k-1)}{r}+\dfrac{k(k-3)-l(l+1)}{r^2}\right)w=0$

Que puede convierte a Heun del Biconfluent Ecuación similar a la Caza de soluciones exactas de segundo orden ecuaciones diferenciales ordinarias con diferentes coeficientes.