Calcular el límite $L=\lim_{x\to 0^+}\left(2\sin\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$ .

Question

Pregunta : Calcular el límite $$L=\lim_{x\to 0^+}\left(2\sin\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x.$$

Estoy pensando en utilizar el infinitesimal, pero no estoy acostumbrado a este tipo de argumentos de análisis. ¿Alguien puede explicar cómo tratar este tipo de problemas? Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\left(2\sin\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x=e^{x\log \left(2\sin\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right) }\to1$$

En efecto,

$$x\log \left(2\sin\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)\to0$$

desde

$$x\log \left(2\sin\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x \left[\log \sqrt{x} +\log\left(2\frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right]=\sqrt{x} \left[ \sqrt{x} \log \sqrt{x} + \sqrt{x} \log\left(2\frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right]\to0\cdot(0+0)=0$$

Answer 2

Si el $\sin(1/x)$ te está dando problemas, limítalo:

$$\left(\sqrt{x} - \frac{1}{3}x^{3/2}\right)^x \leq \left(2\sin\left(\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x \leq \left( 3\sqrt{x}\right)^x.$$