Convergencia en$L_\infty$ y$L_1$ incluso si el espacio de medida es infinito

Question

Sea$\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una secuencia de funciones medibles en un espacio de medida y$f$ medible. En la literatura, asumiendo que el espacio de medida$X$ tiene una medida finita, si$f_n$ converge a$f$ en$L^{\infty}$ - norma, entonces$f_n$ converge a$f$ en$L^{1}$ - norma.

Incluso si$X$ tiene una medida infinita, ¿converge a$f$ en$L^{1}$ - norma?

Answer 1

No. Pruebe$f_n$ la función constante tal que$f_n(x)=\frac1n$ para cada$x$ en$X$.

Para un ejemplo donde cada$g_n$ está en$L^1\cap L^\infty$,$g_n\to0$ en$L^\infty$ y no en$L^1$, intente$g_n=\frac1n\mathbf 1_{[0,n^2]}$ en$X=\mathbb R$ Con la medida de Lebesgue.