Función de partición de un gas de$N$ de partículas clásicas idénticas

Question

La función de partición de un gas de$N$ de partículas clásicas idénticas está dada por

PS

en esta ecuación anterior usamos$$ Z~=~\frac {1}{N! h^{3N}} \int \exp[-\beta H(p_1.......p_n, x_1....x_n)]d^3p_1...d^3p_n,d^3x_1...d^3x_n $ como el número total de subsistemas de un sistema de partículas idénticas. y$N!$ para que la partición funcione sin dimensiones. No tengo claro cómo se usa$ h^{3N} $ para que no tenga dimensiones.

Answer 1

El espacio de fase de coordenadas y los ímpetus de los componentes de las N partículas tiene cierto tamaño en ese espacio, hay un número de microstates dentro de este tamaño determinado por el tamaño de la celda en la cuantizado del espacio de fase (debido a uncertainity h para cada grado de libertad dx dp y para 3N dergrees de la libertad de las N partículas) se h^3N. El número de posibles arreglos de estos N distinguibles, las partículas es N! repite en el numerador), pero son indistigwishable debemos corregirlo dividiendo la cantidad b N!.

Answer 2

Observe que el $e^{-\beta H}$ es adimensional, mientras que cada factor de $dp$ contribuye un factor con las dimensiones de impulso, mientras que cada una de las $dx$ contribuye un factor con las dimensiones de longitud. Por lo tanto cada factor $dp dx$ contribuye un factor con las dimensiones del momento angular. Desde allí se $3N$ de estos factores (N partículas y 3 dimensiones) en la integración de la medida, la integral tiene una dimensión total de momento angular para el poder de la $3N$. Por otro lado, $h$ tiene dimensiones de momento angular, por lo que dividiendo por $h^{3N}$ hace la plena expresión adimensional.

Answer 3

La forma más fácil de pensarlo es que$\exp(\dots)$ es solo un número y no afecta a la dimensión. Sin embargo, todavía tiene$3N$ de los factores del momento y la posición alrededor que le dará las dimensiones de [Longitud x Momento]${}^{3N}$. La constante de Planck tiene las unidades de Longitud x Momento, por lo que los factores$3N$ de$h$ cancelan los factores$3N$ que provienen de la integral.