La ' real ' el uso de álgebra cuántica, geometría no conmutativa, teoría de la representación y geometría algebraica a la física

Question

En esta pregunta, Orbicular, hizo el siguiente comentario a Feb7 y mis propias respuestas;

Por favor, tenga en cuenta que, aunque se declaró muy a menudo - la geometría no conmutativa no dar "real" de la información a la física. La razón es que ellos sólo han juguete modelos, todos de los cuales son no físico (en el sentido de que pueden predecir las cosas que difieren de las del mundo real de las mediciones). Además, incluso el juguete de los modelos son por lo general extremadamente complicado, matando a la mayoría de las expectativas de conseguir un "verdadero" modelo (que no es toyish).

En primer lugar, quiero agradecer a Orbicular para señalar esto, ya que es algo que me 'algo' lo sabía, pero a menudo se olvida. El propósito de esta pregunta, es para pedir una explicación más profunda, ya sea desde Orbicular o de alguien más. En particular

¿a qué grado de Quantum Álgebra, la Geometría No conmutativa, la Teoría de la Representación, y la Geometría Algebraica influencia/assist 'real' de los modelos y real de la física relacionadas con el mundo físico?

No deseo para esta pregunta se convierta en un debate acerca de si o no estos matemáticas más tarde será aplicado en algunas hermosas fibrosa-cuántica-la simetría en la teoría; me gustaría mucho ser una explicación del uso real de estas cosas. Específicamente, estoy interesado en escuchar acerca de la utilización de los Grupos Cuánticos y sus representaciones para los Físicos, junto con algunas reflexiones sobre la utilidad real de los resultados en carolina del norte, la Geometría Algebraica de los artículos que he publicado más de aquí. Otro, particularmente interesante tema, me gustaría escuchar acerca de la utilidad de la propiedad conmutativa de geometría algebraica en la física.

Algunas cosas que he encontrado

Sólo dos referencias que he encontrado que al menos estas cosas en algún grado son Peter Woit de la conferencia de las notas sobre la Teoría de la Representación, y en Shawn Majid, el libro de los Grupos Cuánticos que describen algunos definitiva física de la motivación para el estudio de los grupos cuánticos.

Gracias!

Answer 1

De los temas que usted ha mencionado, quizás Teoría de la Representación (de la Mentira (super)álgebras) ha sido el más útil. Me doy cuenta de que ese no es el punto de tu pregunta, pero algunas personas pueden no ser conscientes de la magnitud de su omnipresencia. Hacia el final de la respuesta que mencionar también el uso de la teoría de la representación de vértice álgebras en física de la materia condensada.

La teoría de la representación de la Poincaré (grupo de trabajo de Wigner y Bargmann) sustenta relativista, la teoría cuántica de campos, que es la actual formulación de teorías de partículas elementales, como los de nuestro experimental amigos de la prueba en el LHC.

El modelo quark, lo que explica el espectro observado de bariones y mesones, es esencialmente una aplicación de la teoría de la representación de SU(3). Esto resultó en que el Nobel Murray Gell-Mann.

El modelo estándar de la física de partículas, para que los premios Nobel también han sido premiados, también está fuertemente basada en la teoría de la representación. De hecho, hay una gran influencia de la Física Informe por Slansky llamado Grupo de la teoría unificada de la construcción de modelos, que por años fue la teoría de la representación de la biblia para los físicos de partículas.

De manera más general, muchos de los más especulativos grand unified teorías se basan en ajustar el espectro observado en el unitaria de las irreps de simple álgebras de Lie, tales como $\mathfrak {} (10)$ o $\mathfrak{ub}(5)$. Por no hablar de las teorías supersimétricas como el modelo estándar supersimétricas mínimo.

La Geometría algebraica juega un enorme papel en la Teoría de cuerdas: no sólo en los aspectos más formales de la teoría de la comprensión D-branes en términos de categorías derivadas, condiciones de estabilidad,...) pero también en los intentos de encontrar fenomenológicamente realista compactifications. Véase, por ejemplo, este papel y otros por distintos subconjuntos de los mismos autores.

Perturbativa de la teoría de cuerdas es esencialmente bidimensional (super)la teoría conforme de campos y tales teorías se rigen en gran medida por la teoría de la representación de dimensiones infinitas Mentira (super)álgebras o, más generalmente, vértice de las álgebras de operadores. Usted no puede pensar en esto como "real", pero en realidad de dos dimensiones de la teoría conforme de campos describe muchos de estadística de sistemas mecánicos en los criticidad, algunos de los cuales pueden ser medidos en el laboratorio. De hecho, el primer (y único?) manifestación de la supersimetría en la Naturaleza es la red de uniones Josephson en la criticidad, el cual es descrito por un superconformal la teoría de campo. (Por cierto, el "super" en "superconductividad" y la "supersimetría" no son lo mismo!)

Answer 2

La (aparente, se supone) matemáticas detrás de las fracciones de efecto hall cuántico implica la TQFT invariantes procedentes de las representaciones de los grupos cuánticos en las raíces de la unidad.

Edit: algunos enlaces para leer más:

• De la Cadena de Redes para Nonabelions
• Una clase de P,T-invariante topológico de las fases de la interacción de los electrones
• Computación cuántica topológica

Answer 3

Connes Chamseddine aplicado directamente NCG a física de partículas y hacer predicciones para la masa de Higgs. (Ver, por ejemplo, aquí). Yo diría que esto cuenta como "física real". Otra cuestión es si sobrevivirá sus predicciones.

Answer 4

El más sencillo ejemplo de aplicación de los grupos cuánticos a la física real es integrable giro de las cadenas. Por ejemplo, XXX-1/2 giro a la cadena de excitaciones que se transforman en virtud fundamental de la rep de $\mathfrak{ub}(2)$. Veamos ahora el quantum de la deformación de esta simetría $U_q(\mathfrak{ub}(2))$. Resulta que el sistema que usted va a obtener es la anisotrópico XXZ giro de la cadena donde la deformación parámetro $q$ está relacionado con el parámetro de anisotropía de la tirada de la cadena.

Usted puede pensar en mucho más ejemplos para diferentes álgebras. Pero estoy de acuerdo, esta es una rara ocasión de que la matemática moderna entra en la física de la vida.

Answer 5

Los números de Chern, números Chern Spin y así sucesivamente en la física de materia condensada son muy importantes en la comprensión de aislantes topológicos. Hay muchas maneras de calcular este invariantes, y algunos de ellos vienen directamente de la geometría no conmutativa.

Ver "desordenada aislantes topológicos: una perspectiva de la geometría no conmutativa" por Emil Prodan, en revista de física A: matemática y teórica, 44(2011), 113001.