$\beta$ en mecánica estadística es igual a$\frac{1}{k_BT}$ en termodinámica, pero no entiendo por qué$\beta\propto T^{-1}$ en lugar de, digamos,$\beta\propto T$?
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Nick
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Porque por convención, queremos escribir $\beta$ como el coeficiente delante de energía $E$ en el exponente $\exp(-\beta E)$. Los exponentes tienen que ser adimensional lo $\beta$ tiene unidades de la inversa de la energía. Por eso tiene que ser objetos tales como $\beta=1/kT$ porque $kT$ tiene unidades de energía. La última afirmación se sostiene debido a que la energía por cada grado de libertad aumenta con la temperatura. Al final, esa es la fundamental de la respuesta a su pregunta. La exponencial es $\exp(-E/kT)$ porque $E\sim kT$ y "caliente" significa "muy enérgico". Tiene que ver con el hecho de que la temperatura tiene una absoluta límite inferior, el cero absoluto, como la energía es limitada desde abajo.
Sean Bannister
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141
A veces, una definición es sólo una definición. La matemática de la mecánica estadística demandas que trabajamos con $E/kT$ bastante y, históricamente, hemos optado por trabajar con $\beta \equiv 1/kT$. Esto puede hacer que algunos manipulación matemática más fácil: por ejemplo, $\frac{\partial}{\partial \beta} e^{\beta E} = E e^{\beta E}$ es más fácil trabajar con él, que si le explícitamente a la izquierda en una división (pero no es "la conservación de la miseria" aquí, como mi asesor le gusta decir, donde las cosas lindas que tenemos para hacer este costo en la conversión de $\partial/\partial \beta$ a $\partial/\partial T$ hacia abajo de la carretera).
Usted está completamente libre de volver a escribir todo de la mecánica estadística en términos de algunos de los diferentes parámetros que es proporcional a $T$. Llamarlo $\tau$ si te gusta. $\tau = kT$. Esto puede ser un ejercicio ilustrativo para la mente inquisitiva, viendo cómo se hace que algunas de las expresiones más simples y otros más laborioso.
Giacomo Verticale
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1035
$\beta$ fundamental es la cantidad que aparece en las leyes de la mecánica estadística, y la comparación con las leyes de la termodinámica implica entonces que $\beta$ es inversamente proporcional a la temperatura. Esto puede ser visto desde la la primera ley, que dice $dU=TdS-PdV$, mientras que la mecánica estadística proporciona a volumen constante la fórmula $dS/k_B=\beta dU$. Como consecuencia, $\beta=1/k_BT$.
Por lo tanto, una "temperatura" se define a ser proporcional a $\beta$ medir el frío en vez de calor.
Es un accidente histórico que la temperatura fue diseñado para medir el calor en lugar de frío. La correspondencia entre los estadísticos mechnaics y termodinámica sería más sencillo si no fuera así, pero uno no puede cambiar la historia y el resultado de la tradición profundamente arraigada en nuestra cultura.
shingara
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111
En la termodinámica estadística, cuando se utiliza el método de los multiplicadores de Lagrange, se obtiene una expresión como
$$-\ln \rho = \alpha + \beta H$$
donde $\alpha$ e $\beta$ son los factores por los que se determine. Multiplicando por la constante de Boltzmann y un promedio obtenemos la entropía
$$\langle S \rangle = k_\mathrm{B}\alpha + k_\mathrm{B} \beta \langle H \rangle$$
Comparando con la termodinámica de la entropía para un sistema cerrado en la composición constante (Euler expresión)
$$S = S_0 + \frac{U}{T}$$
se puede obtener el valor de $\beta = 1/k_\mathrm{B}T$.
Usted podría tratar de un método alternativo mediante la definición de un multiplicador de Lagrange $\beta' = 1/\beta$,
$$-\ln \rho = \alpha + H / \beta'$$
Repitiendo el procedimiento anterior se podría obtener el valor de $\beta' = k_\mathrm{B}T$, pero no encuentro ninguna ventaja en esto.
