¿Puedo tener algunos consejos sobre cómo construir mapas entre espacios topológicos de un grado determinado? Por ejemplo, ¿cómo iría a construir un mapa de grado 3 desde CP1 a CP2 cruzado a CP3? ¿O un mapa de S2 cruza S2 a CP2 de grado uniforme? No sé por dónde empezar, ¿hay alguna técnica especial que sea útil?
Respuestas
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JayTee
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Bienvenido usuario48617,
¿Está familiarizado con el Künneth-Theorem y la homología celular?
Para construir mapas que comiencen en$\mathbb CP^1 \times \mathbb CP^2$ o$S^2 \times S^2$, basta con construir mapas que comiencen en uno de los factores utilizando los complejos de celdas de los espacios respectivos.
Según el Teorema de Künneth, se obtiene un homomorfismo inducido de secuencias exactas cortas, pero aquí desaparece el término$\mathrm{TOR}$, es decir, el grado del mapa en cuestión es de hecho el producto de los grados de los mapas más simples.
notpeter
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Para los mapas que involucran espacios proyectivos, una técnica elemental es tratar de encontrar una proyección que incluya polinomios homogéneos: en este caso, usted tiene coordenadas, por lo que debe usarlas. Dados los mapas polinomiales$p:\mathbb{C} P^1\to \mathbb{C} P^3$ y$q:\mathbb{C} P^2\to \mathbb{C} P^3$ puedo construir$pq$ multiplicando por coordenadas: agregar no conservaría bien definido, pero sí multiplicar, como en$([z:w],[a:b:c])\mapsto [za^2:wb^2:zc^2:w(a^2+2b^2+3c^2)].$ Una técnica similar podría haga el caso$S^2\times S^2\to \mathbb{C} P^2$, ya que también es un mapa de un producto de espacios proyectivos.
