resolución de ecuaciones cúbicas diofánticas

Question

Puede alguien mostrarme cómo encontrar todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación diofantina: $$x^3 + y^3 = 35$$ Sé cómo hacerlo algebraicamente, pero quiero saber cómo se resuelve en teoría de números.

Mi enfoque algebraico: $x^3 + y^3 = (x + y)\cdot (x^2 - xy + y^2) = 35$ .

Los únicos factores enteros de $35$ son $(1, 35)$ o $(5, 7)$ . No hay números enteros $x$ y $y$ que se suman a $1$ Así que $x + y = 5$ o $7$ .

Utilizando $x + y = 5$ obtenemos que $y = 5 - x$ Así que $y^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3$ así que $x^3 + y^3 = 15x^2 - 75x + 125 = 35$ o $$15x^2 - 75x + 90 = 0$$ $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$(x - 3)(x - 2) = 0$$ Así que $x = 2$ o $x = 3$ Así $y = 3$ o $y = 2$ respectivamente.

Utilizando $x + y = 7$ obtenemos que $y = 7 - x$ Así que $y^3 = 343 - 147x + 21x^2 - x^3$ así que $$x^3 + y^3 = 21x^2 - 147x + 343 = 35$$ $$21x^2 - 147x + 308 = 0$$ $$3x^2 - 21x + 44 = 0$$ o $$x = \frac{21 \pm \sqrt{-87}}{6}$$ Como x es complejo, esto no puede ser una solución.

Así que $(x, y) = (2, 3)$ o $(x, y) = (3, 2)$

Answer 1

Sabes que $x$ y $y$ no pueden ser mayores o iguales que $3$ porque esto te daría una suma demasiado grande. Y $x$ y $y$ deben ser ambas inferiores a $4$ por un razonamiento similar. Así que en este caso, esa es probablemente la mejor manera de abordar el problema: Simplemente intente $1,2,3$ para $x$ y $y$ cuando no son ambas $3$ . Y tenga en cuenta que puede asumir $x \leq y$ por simetría, y modifica tu respuesta a posteriori basándote en la simetría y en las soluciones que obtengas.

Answer 2

Para acotar todas las soluciones en números enteros (no sólo a enteros positivos) en $x^3+y^3 = n$ :

Primero, usando la factorización $x^3+y^3 =(x+y)(x^2-xy+y^2) $ , obtenemos valores posibles para $x+y$ desde $(x+y) | n$ . Entonces, ya que $x^2-xy+y^2 =(x+y)^2-3xy $ , obtenemos posibles valores para $xy$ ( $xy =\dfrac{(x+y)^2-n/(x+y)}{3} $ ) y esto da $x$ y $y$ .

Nota (añadida después de un comentario): Si $a=x+y$ y $b=xy$ son conocidos, entonces, ya que $(r-x)(r-y) =r^2-r(x+y)+xy =r^2-ar+b $ , $x$ y $y$ son las raíces de $r^2-ar+b$ . Entonces usa la fórmula cuadrática: $r =\dfrac{a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2} $ .

(Cosas adicionales para explicitar la solución)

Tenemos $a = x+y$ (el divisor de $n$ ), $b = xy = ((x+y)^2n/(x+y))/3=(a^2n/a)/3$ . Entonces el discriminante $d =a^2-4b =a^2-4(a^2n/a)/3 =(4n/a-a^2)/3 =(4n-a^3)/(3a) $ y las raíces son $\dfrac{a\pm \sqrt{(4n-a^3)/(3a)}}{2}$ . Si adoptamos la convención que $x < y$ , entonces $x = \dfrac{a- \sqrt{(4n-a^3)/(3a)}}{2}$ y $y = \dfrac{a + \sqrt{(4n-a^3)/(3a)}}{2}$ . Para que esto funcione, $(4n-a^3)/(3a)$ debe ser un cuadrado perfecto.

Algunos límites elementales sobre $x$ y $y$ :

Si $0 < x \le y$ , $\sqrt[3]{n/2} < y \lt \sqrt[3]{n} $ .

Si $x < 0 < y$ , ya que $x^2-xy+y^2 =x^2-xy+(y/2)^2+3y^2/4 =(x-y/2)^2+3y^2/4 > 3y^2/4 $ , $x+y > 0$ o $y > -x$ .

Esto puede mejorarse a $x^2-xy+y^2 =x(x-y)+y^2 =(-x)(y-x)+y^2 > y^2 $ y $x^2-xy+y^2 <3y^2 $ .

Para cada divisor $d$ de $n$ , $d y^2 < n < 3dy^2$ , así que $\sqrt{n/(3d)} < y < \sqrt{n/d}$ .

Answer 3

COMENTARIO.-Has resuelto fácilmente el problema algebraicamente y quieres saber cómo resolverlo en teoría de números. Pues tu curva es una curva elíptica de rango $1$ cuyo generador es el punto $(3,2)$ que es el único punto de coordenadas enteras y se determina utilizando su forma algebraica. Por lo demás tiene una infinidad de puntos racionales cuyo conjunto es denso en la curva y que se pueden calcular por el método de cuerdas y tangentes. Eso es lo que la teoría de números en relación con las curvas elípticas nos dice sobre este problema (la teoría algebraica de números se ocupa de los demás puntos algebraicos no racionales, es decir, no trascendentes, de la curva).