¿Son los grupos algebraicos simples absolutamente simples?

Question

Deje $k$ ser un campo. Por una simple algebraicas grupo de más de $k$ me refiero a un grupo afín esquema de $G$ finito de tipo más de $k$ tal que $G$ está conectado, no conmutativa y todo normal cerrado subgrupo de $G$ es trivial. Me gustaría saber un ejemplo de un simple algebraica de grupo de tal manera que la base de la extensión de $G_{\overline{k}}$ de % de $G$ a la clausura algebraica $\overline{k}$ de % de $k$ no es simple ya.

Si $G$ está conectado y no-conmutativa, a continuación, también se $G_{\overline{k}}$ está conectado y no-conmutativa. Así que el problema es realmente acerca de subgrupos normales de $G_{\overline{k}}$ no está definido sobre $k$.

Answer 1

Considere$SL(d,\mathbb{C})$ como un grupo algebraico real (es decir, reemplace cada entrada de matriz con una matriz$2 \times 2$ que representa un número complejo con entradas reales). Entonces, la complejificación tiene la estructura de$SL(d,\mathbb{C}) \times SL(d,\mathbb{C})$ y, por lo tanto, es$SL(d,\mathbb{C})$, considerada como un grupo sobre$\mathbb{R}$, no es absolutamente simple.