Calcular Asymptotics de la Integral?

Question

Deje $f$ ser una función continua en a $[0,1]$. ¿Cómo puedo calcular el asymptotics, como $n\rightarrow\infty$, de

$\displaystyle \int_{[0,1]^n}f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right)\text d x_1...\text d x_n$?

Para empezar, estoy tratando de buscar una definición de lo que significa "calcular el asymptotics" de algo, así que si alguien puede explicar este proceso o tiene una referencia estaría agradecido.

Answer 1

Vamos a ver esto desde la perspectiva de la teoría de la probabilidad (que su perfil de indica que se está estudiando).

Sugerencias:

1. $[0,1]$ es compacto y $f$ es continua. ¿Qué dice usted acerca de acotamiento de $f$?
2. Tenga en cuenta que si $U_1, U_2,\ldots,U_n$ son iid uniforme de variables aleatorias en $[0,1]$, luego $$ \mathbb E f(\overline U_n) = \int_{[0,1]^n}f\left(\frac{u_1+\cdots+u_n}{n}\right)\mathrm d u_1 \cdots \mathrm d u_n$$ donde $\overline U_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n U_i$. Por lo tanto, tenemos un probabilística de la interpretación de la integral en cuestión.
3. Argumentan que $\overline U_n \to c$ (casi seguramente) para algunos $c \in \mathbb R$. Identificar esta $c$.
4. Uso la continuidad de $f$ a la conclusión de que la $f(\overline U_n) \to f(c)$.
5. A la conclusión de que la $\mathbb E f(\overline U_n) \to a$ algunos $a \in \mathbb R$ que se debe identificar, utilizar la pista 1 y uno de un par de diferentes resultados estándar que usted debe saber acerca de la convergencia de las integrales (valores esperados!) dada la convergencia de una secuencia de funciones (con propiedades adecuadas).

Finalmente tenga en cuenta que hemos hecho sin supuestos adicionales sobre la suavidad de $f$, mientras que la realización de este programa.