Condición topológica para que un grupo sea del tipo FL

Question

Decimos que un grupo de $G$ es de tipo $FL$ si existe una resolución de la $L_\bullet \to \mathbb{Z}$ de la longitud finita de finitely generados gratis, $\mathbb{Z}G$- módulos. Ahora, la onu no probada la proposición en Marrón del libro "Cohomology de grupos", dice que si existe un número finito de complejas $X$ que es un porcentaje ( $K(G,1)$ ,, a continuación, $G$ es de tipo $FL$. Pensé de inmediato en el celular de homología cadena $$\ldots\to H_{n+1}(X_{n+1},X_n)\to H_n(X_n,X_{n-1})\to\ldots$$ where $X_n$ is the $n$-skeleton of $X$, but I am not sure about it and I don't know how to equip these free groups with a $G$-module structure. I suppose that I should use that $G\cong\pi_1(X,x_0)$ pero me gustaría saber, por lo menos, si estoy en el camino correcto o no.

Gracias de antemano, bye

Answer 1

Por un lado,$H_n(X_n,X_{n-1})$ es solo el grupo abeliano generado por$n$ - celdas de$X$. Dado que no hay una acción natural de$G$ en$BG=K(G,1)$ (por no hablar de una acción gratuita), no tiene una estructura natural de$G$ - módulo.

Por otro lado, su cobertura universal,$EG$, tiene una acción gratuita de$G$ (y$H(EG_n,EG_{n-1})$ se genera finamente como$G$ - módulo, ya que se genera exactamente por$H(BG_n,BG_{n-1})$). Entonces, uno puede tomar$L_n=H_n(EG_n,EG_{n-1})=H_n(BG_n,BG_{n-1};\mathbb Z[G])$ (donde$\mathbb Z[G]$ es el sistema local en$K(G,1)$ dado por la acción natural de$\pi_1=G$ en$\mathbb Z[G]$)