Deje que$f:[0,1] \to \mathbb{R}$ sea una función continua en los puntos$0$ y$1$ y de tal manera que existan los límites$L(a)=\lim _{x \to a} f(x) \in \mathbb{R}$ para cada$a \in (0,1)$. Demostrar que el conjunto$\{a \in (0,1) \mid |f(a)-L(a)|>1\}$ debe ser finito.
No tengo idea de por dónde empezar con este problema.
Tenga en cuenta que el conjunto$$A = \{a\mid a\in(0, 1), |f(a) - L(a)| > 1\}$$ is bounded. If it is infinite then by Bolzano Weierstrass theorem there is an accumulation point $ c$ of $ A$ in $ [0, 1] $.
Tenga en cuenta que la función$L$ es continua en$[0, 1]$ (intente probarse a sí mismo). Considere la secuencia del punto$x_{n} \in A$ tal que$x_{n} \to c$. Luego tenemos$$|f(x_{n}) - L(x_{n})| > 1$$ for all $ n$. Letting $ n \ to \ infty$ we see that $ | L (c) - L (c) | \ geq 1 $ que es una contradicción.
Tenga en cuenta que la continuidad de$f$ en los puntos finales no es necesaria. Lo que se necesita es que$f$ tiene límites unilaterales en los puntos finales$0$ y$1$.
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