Problema en una pregunta sobre progresión geométrica y ecuaciones cuadráticas.

Question

Considere el siguiente problema:-

Si $a,b,c,d,p$ son distintos números reales tales que

$(a^2+b^2+c^2)p^2 -2p(ab+bc+cd)+(b^2+c^2+d^2)≤0$ demostrar que $a,b,c,d$ están en progresión geométrica.

La prueba es como sigue(parte d):-

Todo esto está bien, pero yo pensaba que el problema de forma diferente, como una ecuación cuadrática en la 'p'. Claramente el coeficiente de $x^2$ es $>0$ y por lo tanto, para cualquier $D( D<0, D=0 \textrm{ or } D>0)$ ($D$ es discrimant) cuadrática puede ser $≤0$ para todos los valores de $p$. Por lo tanto, no existen pruebas como la dada la desigualdad es falsa.

Por lo tanto, la discrepancia entre los métodos para este problema. Donde he ido mal?

Answer 1

En su razonamiento debe ser $\Delta\geq0$, pero por la C-S obtenemos $\Delta\leq0,$

que da $\Delta=0$ y obtenemos una progresión geométrica de nuevo porque $$(ab+bc+cd)^2=(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)$$ dice que $$(a,b,c)||(b,c,d).$$

Por el camino, $$(ap-b)^2+(bp-c)^2+(cp-d)^2\leq0$$ , de hecho, da $$ap-b=bp-c=cp-a=0.$$ Pero el resto no es completa.

Si $p=0$ lo, $b=c=d=0,$ lo cual es imposible.

Por lo tanto, $p\neq 0$ y a partir de aquí $a$, $b$, $c$ e $d$ son no-cero de los números reales.

Por lo tanto, de hecho, $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$ y tenemos una progresión geométrica.

Answer 2

La pregunta no requirió $f(p) \le 0$ para todos los valores de p.

Cuando y = f (p) se abre hacia arriba y D> 0, la curva cruzará el eje p en dos puntos. Aquellos p que se encuentran entre estos dos puntos causarán $f(p) \le 0$