Tengo esta prueba de la existencia de la división de los campos de Gallian Contemporáneo de Álgebra Abstracta (lo he visto en otros lugares, y va en la misma línea):
Deje $F$ ser un campo y dejar a $f(x)$ no sea un elemento constante de $F[x]$. Entonces existe una división de campo de $E$ para $f(x)$ sobre $F$.
Prueba: procedemos por inducción sobre $\deg f(x)$. Si $\deg f(x) = 1$, a continuación, $f(x)$ es lineal. Ahora supongamos que el enunciado es verdadero para todos los campos y todos los polinomios de grado menor que la de $f(x)$. Luego, existe una extensión de $E$ de $F$ en que $f(x)$ tiene cero, es decir, $a_1$ . Entonces podemos escribir $f(x) = (x - a_1 )g(x)$, donde $g(x) \in E[x]$. Desde $\deg g(x) < \deg f(x)$, por inducción, hay un campo $K$ que contiene $E$ y todos los ceros de $g(x)$, dicen, $a_2 , . . . , a_n$ . Claramente, entonces, una división de campo para $f(x)$ sobre $F$ es $F(a_ 1 , a_ 2 , . . . , a_ n )$.
No puedo digerir cómo podemos nosotros, en la inducción de paso, asumir que " la afirmación es verdadera para todos los campos '. He visto este tipo de argumento por primera vez. Por favor, ayúdame!
