Volumen común de tres cilindros con radios desiguales.

Question

Me gustaría resolver esto por favor, para el caso de que los radios pueden ser de un tamaño similar - para el caso de que esta afirmación NO es cierta: $$ \mathbf r_1^2 \mathbf \geq \mathbf r_2^2 \mathbf + \mathbf r_3^2 $$

¿Cómo solucionar para el común de volumen de 3 cilindros con la desigualdad de los radios? (Si usted pudiera por favor incluya la integral es necesario - creo que puede ser que necesite un sistema de ecuaciones cartesianas? O si usted tiene alguna buena idea de qué dirección o de cosas que he podido leer en favor de aprender a resolver esto. Muchas gracias por su ayuda! $$x^2 + y^2 = r_1^2$$ $$x^2 + z^2 = r_2^2$$ $$y^2 + z^2 = r_3^2$$ where $r_1 \neq r_2 \neq r_3$

Me pueden encontrar que el volumen común para la igualdad de los radios de usar la triple integración con la circular coordenadas para obtener la respuesta a continuación (después de esto) $$V_c = 8\cdot(2-\sqrt 2)\cdot r^3$$

Básicamente quiero llegar a un lugar donde puedo encontrar la ecuación para el volumen común de tres cilindros con diferentes radios y en diferentes ángulos. Así que si alguien tiene una idea de cómo calcular para los cilindros en diferentes ángulos distintos de 90 que sería demasiado grande! Gracias!

Answer 1

De acuerdo a esto [la primera] foto realizada en GeoGebra, esta cerrado de volumen [parece] estrictamente dentro de la intersección de los 2 cilindros más pequeños. Estoy en lo cierto? [¡No! Yo no estaba!] Esta segunda imagen muestra que el tercero debe unirse a la diagonal punto donde los otros dos se encuentran, verse a lo largo del eje z o ser más que eso si es para no interferir con la respuesta para los dos primeros cilindros.

La intersección de las partes sólidas de los [dos] de cilindros sobre una superficie se llama cilindro hiperbólico (Podría ser algo más si no son perpendiculares, como parte de otro quadric). Nos encontramos ecuación mediante la eliminación de la variable común en las dos ecuaciones, (ver foto). Usted tendrá que decidir donde situar sus cilindros (radio menor a lo largo del eje x, la otra a lo largo de y). Entonces usted necesita cambiar el ángulo de sólo uno de ellos, y encontrar la nueva ecuación (con una pendiente de parámetro).

Answer 2

Deje $a<b<c$ con $c<\sqrt{a^2+b^2}$ ser los radios de las tres cilindros $$x^2+y^2\leq a^2,\qquad x^2+z^2\leq b^2,\qquad y^2+z^2\leq c^2\ ,$$ y denotan por $S$ la parte de la intersección de la mentira en el octante positivo. El conjunto $S$ está de pie en el cuarto disco $$S':\qquad x\geq0,\quad y\geq 0, \quad x^2+y^2\leq a^2$$ en el $(x,y)$-plano. El límite superior de la $S$ está determinado por los otros dos cilindros. Por lo tanto, la altura de la $z(x,y)$ de $S$ en el punto de $(x,y)\in S'$satisface $$z^2(x,y)=\min\{b^2-x^2, \ c^2-y^2\}\ .$$ Las dos entradas en la $\min$ son iguales cuando $y^2=c^2-b^2+x^2$. De ello se sigue que $a$z(x,y)=\left\{\eqalign{\sqrt{b^2-x^2}\qquad&(y\leq\sqrt{c^2-b^2+x^2})\cr \sqrt{c^2-y^2}\qquad&(y\geq\sqrt{c^2-b^2+x^2})\cr}\right.\ .$$ Ahora tenemos que calcular $${\rm vol}(S)=\int_{S'}z(x,y)\>{\rm d}(x,y)\ .\tag{1}$$ El hiperbólico arco $y=\sqrt{c^2-b^2+x^2}$ cruza el cuarto de círculo $x^2+y^2=a^2$ en el punto $$P=\left(\sqrt{a^2+b^2-c^2\over2}, \ \sqrt{a^2+c^2-b^2\over2}\right)=:(u,v)\ .$$ El hiperbólico arco y las líneas de $x=u$, $y=v$ través $P$ la partición del cuarto disco de $S'$ en cuatro secciones. De $(1)$ obtenemos entonces $$\eqalign{{\rm vol}(S)&=\int_0^u \sqrt{c^2-b^2+x^2}\>\sqrt{b^2-x^2}\>dx+\int_u^a\sqrt{a^2-x^2}\>\sqrt{b^2-x^2}\>dx \cr&\qquad + \int_{\sqrt{c^2-b^2}}^v \sqrt{y^2-(c^2-b^2)}\>\sqrt{c^2-y^2}\>dy+\int_v^a\sqrt{a^2-y^2}\>\sqrt{c^2-y^2}\>dy\ .\cr}$$