Consecuencia geométrica de los vectores absolutos

Question

Si $| \mathbf{a} + \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | + | \mathbf{b} |$ donde $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ son vectores, ¿qué significado geométrico tiene esto?

Mi primer pensamiento fue que los vectores $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ debe estar en el primer cuadrante, teniendo sólo componentes positivas.

Answer 1

Veamos qué $a+b$ es, geométricamente. Las flechas azul oscuro son $a$ et $b$ . El vector naranja es $a+b$ .

Básicamente, se pega una encima de la otra. Ahora, sabemos que el valor absoluto de un vector sólo representa la longitud; ¿puedes ver lo que ocurre cuando $|a+b|=|a|+|b|$ ?

Esencialmente, tendrían que apuntar en la misma dirección. No tiene nada que ver en qué cuadrante estén, sólo dice que están en la misma dirección. Lo contrario también es cierto; si $a$ et $b$ apuntan en la misma dirección, entonces $|a+b|=|a|+|b|$ (¿ves por qué?).

Answer 2

Sea $\theta$ sea el ángulo entre $\mathbf a$ et $\mathbf b$ . Usando propiedades del producto punto,

$$|\mathbf a+\mathbf b|=|\mathbf a|+|\mathbf b|$$ $$\implies|\mathbf a+\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2+2|\mathbf a||\mathbf b|$$ $$\implies(\mathbf a+\mathbf b)\cdot(\mathbf a+\mathbf b)=\mathbf a\cdot \mathbf a+\mathbf b\cdot \mathbf b+2|\mathbf a||\mathbf b|.$$

Pero el lado izquierdo es $\mathbf a\cdot \mathbf a + \mathbf b\cdot \mathbf b + 2\mathbf a\cdot \mathbf b = \mathbf a\cdot \mathbf a +\mathbf b \cdot \mathbf b+2|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$ Esto significa $\cos\theta=1$ .

Answer 3

La cuadratura de ambos lados da: $$\vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|.$$ Ahora, ¿puedes entender lo que pasa aquí?

Answer 4

Una norma para la que es válida $$|a+b|=|a|+|b|\Rightarrow \text{$ a $ and $ b $ are parallel}$$ se llama estricto . (Todas las normas derivadas de un producto interior son estrictas, por ejemplo)

Un ejemplo de norma no estricta es la norma de Manhattan, véase https://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry . Aquí $$|(1,0)|=|(0,1)|=1\text{ and } |(1,1)|=2,$$ de ahí $$|(1,0)+(0,1)|=|(1,0)|+|(0,1)|,$$ pero los vectores no son paralelos.