Desde esta pregunta las Características de un bonito anillo estoy interesado en "pretty anillos".
Definición: Un bonito anillo de $R$ es un anillo con unidad 1, no un campo, y cada elemento distinto de cero puede escribirse de forma única como suma de una unidad y un nonunit elemento de $R$.
Ya he hecho una pregunta acerca de la estructura de bastante anillos (es decir, aquí la Caracterización de bastante anillos) y me di cuenta de que mi intuición acerca de su estructura no estaba del todo bien. Por ejemplo, podemos tener no conmutativa bastante anillos. Por ejemplo el polinomio anillo en dos no conmutativa variables a lo largo de $\mathbb{F}_2$ es bastante y no conmutativa.
1.) ¿Existe un número finito de bonito anillo nonisomorphic a $\mathbb{F}_2^{\oplus n}$?
y podemos ir más allá y eliminar conmutatividad en el caso finito?
2.) ¿Existe un número finito no conmutativa bastante anillo?
Traté de construir un contraejemplo a mí mismo escoger un no conmutativa monoid y considerando $R_S:=\mathbb{F}_2[S]$. Esto es un no conmutativa unital anillo (también finito si $S$ es finito). Sin embargo, no veo cómo escoger el monoid tal que $\vert R_S^\times \vert =1$ (que es equivalente a ser un bonito anillo, véase mi respuesta a esta pregunta las Características de un bonito anillo).
Una condición necesaria es que la $S$ tiene sólo un elemento invertible, pero esto no es suficiente. Es decir, considerar la posibilidad de $S=\{ 1, a, b\}$ con $1$ siendo el elemento neutro y para $x,y \in \{ a, b\}$ definimos $$ x\cdot y := x.$$ A continuación, $R_S$ es no conmutativa y unital, pero $$ (1 + a + b)^2 = 1 + 4 a + 4 b =1 $$ y por lo tanto $R_S$ no es bastante.
Soy consciente de que no todos bastante anillos son isomorfos a algunos $R_S$ (por ejemplo, el polinomio anillo no lo es), sin embargo, yo no podía llegar con una mejor manera de pensar acerca de este problema.
3.) Hacer el bonito anillos tienen un nombre "real"? Hay gente que estudia ellos?
