Ejemplo de función compleja con "singularidad esencial" a lo largo del círculo unitario

Question

Sentí curiosidad por saber si existía una función compleja que fuera analítica en el interior del disco unitario, pero que no existiera una extensión de la función a una función holomórfica en un conjunto abierto conectado estrictamente mayor. Esto se debía a que todos los ejemplos típicos que se me ocurrían con un radio de convergencia finito de la serie de Taylor tenían extensiones analíticas naturales cerca de todos los puntos de la frontera de la región de convergencia, excepto en un número finito.

El ejemplo que se me ocurrió fue: $$f(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2^n}}{2^n}.$$ Esta función tiene radio de convergencia 1, y en cada punto de $|z| = 1$ converge a una función cuya parte imaginaria tiene $\Im f(e^{i \theta})$ igual a la función de Weierstrass. Por lo tanto, la restricción al círculo unitario no es diferenciable (como función sobre el real $C^\infty$ colector $S^1$ ) en cualquier punto, lo que hace imposible cualquier extensión de $f$ sea holomorfa en cualquier punto del círculo unitario (ya que el teorema de Abel implica que dicha extensión no tendría un polo en dicho punto).

Mi pregunta es: ¿es este un ejemplo válido, o hay algo que se me escapa? Y también, ¿hay un ejemplo más natural de tal función en términos de los ejemplos habituales de funciones analíticas?

Answer 1

Este es un fenómeno bien conocido. Si usted tiene el análisis real y complejo de Rudin, en la página 320 da el ejemplo relacionado $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^{2^n}$ que, como señala, es ilimitado en todos los radios del disco unitario que termina en $e^{2\pi i k / 2^n}$ para $k$ y $n$ enteros positivos. Así, $f(z)$ no puede extenderse a una función analítica en una vecindad de cualquier $e^{2\pi i k / 2^n}$ . En consecuencia, $f(z)$ no puede extenderse a ningún conjunto abierto conectado más grande.