Número de formas en que se pueden colocar dos caballeros de manera que no ataquen.

Question

¿Cuál es el número de maneras en que dos caballeros puede ser colocado en un k×k tablero de ajedrez de manera que ellos no se atacan unas a otras?

For k from 1 to 8, the answer is given below. How do I find a general formula?
0
6
28
96
252
550
1056
1848

Editar:

Este es mi enfoque después de @Peter 's ayuda, he llegado a la conclusión de que el número de maneras tales que el ataque es igual a dos veces el número de posibles maneras en las que puedo poner una forma de "L" en el tablero. (2 veces, porque los caballeros pueden intercambiar posiciones), estoy en lo cierto? No sé cómo lo hago más adelante desde aquí.

Traté de hallar el número de maneras de colocar L por esta fórmula recursiva: F[n][n]=4+F[i][i-3]+F[i-2][3]; Pero no está funcionando.

Answer 1

Tenga en cuenta que cuando tenemos dos caballeros que amenazan unos a otros, que en realidad constituye un $2\times3$ o $3 \times 2$ junta. Y para cada una de las $2 \times 3$ e $3 \times 2$ juntas, hay $2$ formas de colocación de los dos caballeros para que se amenazan unos a otros. Así, lo que debemos hacer es contar cuántas $2 \times 3$ e $3 \times 2$ plazas $n\times n$ junta. Para general $n$, la respuesta es $$(n-1)(n-2)+(n-2)(n-1) = 2(n-1)(n-2)$$ Y para cada una de las $2\times3$ e $3\times2$ junta, hay $2$ formas de colocación de los caballeros para que se amenazan unos a otros. Por lo tanto, en total hay $$2\cdot2(n-1)(n-2)=4(n-1)(n-2)$$ formas de colocación de los dos caballeros para que se amenazan unos a otros. Así que lo que se busca es la $$\frac{n^2(n^2-1)}{2}-4(n-1)(n-2)$$ También vale la pena mencionar que no estamos sobre-contar porque cada vez que coloque dos caballeros para que se amenazan unos a otros, ya sea un $2 \times 3$ o $3 \times 2$ junta puede contener tanto de los caballeros.