¿Qué significa no poder tomar la derivada de una función varias veces?

Question

Me estoy tomando una introducción al análisis matemático curso y estoy teniendo problemas para entender esta definición.

Ellos están hablando acerca de cómo puede ser interesante ver qué pasa si usted toma la derivada de una función varias veces (esto se discute en la introducción a los polinomios de Taylor). Lanzan esta definición en nosotros, que ellos llaman $C^kfunctions$:

Una función de $f: I \rightarrow \mathbb{R} $ pertenece a $C^k(I)$ si es posible tomar la derivada de la función k veces en $I$ e si $f^{(k)}(x)$ es continua en $I$

Estoy un poco confundido por esto. No todas las funciones $C^\infty$ entonces? No puedes simplemente seguir tomando la derivada de una función, incluso si se vuelve $0$? Específicamente estoy en un capítulo donde ahora están discutiendo la curva integrales y siguen mencionando que es un $C^2$ función. ¿Qué significa esto? Puede sólo tomar la derivada 2 veces?

Estoy confundido y no puedo envolver mi mente alrededor de ella. Me encantaría si alguien era capaz de explicarlo de tal manera que yo podía entender y aplicar. Gracias de antemano.

Answer 1

Como un ejemplo:

• $f(x)=6|x|$ no tiene una derivada en $x=0$
• $g(x)=3x|x|$ tiene una primera derivada en todas partes de $f(x)$ pero no una segunda derivada en $x=0$
• $h(x)=x^2|x|= |x^3|$ tiene una primera derivada en todas partes de $g(x)$ y una segunda derivada de $f(x)$ pero no una tercera derivada en $x=0$

Answer 2

Voy a tratar de sus puntos uno por uno. Si usted tiene más preguntas, por favor pregunte a distancia:

No todas las funciones $C^\infty$ entonces? No. Ejemplos de funciones cuyas $k$-ésimo orden de la derivada no es continua abundan por cada $k$. Es cierto que $C^1$ funciones son muy similares a $C^\infty$ funciones, pero por el momento es mejor centrarse en los que nos vamos a encontrar.

Incluso hay funciones que son continuas pero no derivable en ningún punto. Uno de ellos es la función de Weierstrass, y estoy bastante seguro de que voy a encontrar más abajo en la carretera en este curso. Si usted encuentra esta lectura difícil de seguir, no te preocupes, estoy seguro de que tu profesor te dará una gran explicaciones (y, por supuesto, bienvenido a preguntar).

No puedes simplemente seguir tomando la derivada de una función, incluso si se vuelve $0$? $0$ es sólo otro valor de un derivado puede tomar. Hay algunas funciones que carecen de un derivado. Algunos tienen un derivado. De estos, algunos son cero; algunos no lo son.

Específicamente estoy en un capítulo donde ahora están discutiendo la curva integrales y siguen mencionando que es un $C^2$ función. ¿Qué significa esto? Puede sólo tomar la derivada 2 veces? No exactamente. Esto significa que la segunda derivada es continua, pero no dice nada sobre la tercera, porque en realidad no importa. $C^3$ funciones también se $C^2$: tenga en cuenta que si usted puede hacer algo como tomar derivados tres veces también puede hacerlo dos veces, pero ser capaz de hacerlo dos veces, no es garantía de que usted puede ir y hacerlo una tercera vez.

Answer 3

Algunas funciones tienen un derivado que no puede ser más diferenciada.

Por ejemplo, considere la función $f(x) = |x|$. No es diferenciable, pero puede ser integrado. Cualquier antiderivada $F(x)$ de $f(x)$ será diferenciable y tenemos $F'(x) = f(x)$. Desde $f$ es continua, $F \in C^1$ pero desde $f$ no es diferenciable, $F \notin C^2$.

Answer 4

Creo que una imagen puede ayudar a explicar lo que está pasando aquí. A continuación se muestra un gráfico de una función (rojo) y su derivada (azul). El original de la función es derivable, la cual se puede ver por su falta de "giros bruscos". Sin embargo, la derivada no es, como se evidencia por la "punta vuelta" a $(0,0)$.

\begin{align} \text{(red)} \qquad f(x) &= x \cdot |x| \qquad\qquad \qquad \\ \text{(blue)} \quad\,\,\, f'(x) &= 2 \cdot |x| \qquad\qquad \qquad \end{align}

Parte de la razón por la que esta idea puede ser confuso es que el original (rojo) función se ve suave, pero no es suave por las matemáticas definición desde su primera derivada no es diferenciable. Mientras $f(x)$ no tiene punta bits, tiene el espíritu de uno en el interior, a la espera de ser liberado.

(Por cierto, si te estás preguntando cómo se derivan $f'(x)$ se puede ver que aquí.)