¿Hay casos donde$\nabla\cdot\iiint\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' \neq 0$?

Question

En Jackson la Electrodinámica Clásica, la Sección 5.4 (Vector Potencial), el autor parece suponer que, debido a $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$, el siguiente es válido para la densidad de corriente (donde la integral se realiza en todo el espacio):

$$\nabla\cdot\iiint\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = 0$$

Sin embargo, en general, sabemos que en un volumen cerrado $V$, tenemos: $$\nabla\cdot\iiint\limits_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = \iiint\limits_V\nabla\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = \iiint\limits_V\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\nabla\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\right)\mathrm{d}V'$$ $$ = -\iiint\limits_V\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\nabla'\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\right)\mathrm{d}V' = -\iiint\limits_V\nabla'\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' + \iiint\limits_V\frac{\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V'$$

Ahora en el magnetostatic caso, sabemos por la ecuación de continuidad $\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t} = 0$ que, en realidad, $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ en todo el espacio (porque no hay locales de la densidad de carga de las fluctuaciones), y por tanto, el segundo término se va y nos quedamos con:

$$\nabla\cdot\iiint\limits_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = -\iiint\limits_V\nabla'\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = -\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$$

Ahora tiene un límite como el volumen se convierte en el espacio en su totalidad, vemos que la superficie de la integral se toma en regiones cada vez más lejos de $\mathbf{x}$. Si queremos hacer ciertas suposiciones sobre la asymptotics de $\mathbf{J}$, como $|\mathbf{J}(\mathbf{x}')| = o\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right)$, entonces podemos enlazados a la superficie integral y demostrar que tiende a cero.

Físicamente hablando, se podría argumentar que esto es suficiente porque realista sistemas siempre han corrientes encuadernados en un volumen finito de todos modos. Pero a veces consideramos idealizada escenarios tales como el infinito de líneas rectas con un uniforme de corriente $I$. Estos casos podría causar problemas. Si sólo tiene un único (o un número finito de) dichos cables, creo que todavía se puede mostrar la integral va a cero debido a la inversa de la dependencia de la distancia en el integrando (no estoy seguro). Pero incluso entonces, uno podría razonablemente imaginar idealizada situaciones que comprende infinitamente muchos de esos cables que podrían hacer que la superficie de la integral no converge a cero.

Otra dificultad es que la convergencia debe tener para cualquier superficie que encierra todo el espacio con el tiempo. Si nos restringimos a las esferas de la radio de $|\mathbf{x}-\mathbf{x}'| = R$ centrado alrededor de $\mathbf{x}$, entonces la convergencia es trivial, ya que tenemos $$-\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}' = -\frac{1}{R}\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}' = 0$$ (por el teorema de la divergencia y la ecuación de continuidad). Pero si las superficies no son esféricas, este truco realmente no funcionan. Pero tal vez hay una manera de evitar este problema.

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Estoy interesado en conocer a la mayoría de los supuestos generales que se pueden hacer en $\mathbf{J}$ a satisfacer la convergencia, y también en conocer acerca de situaciones que podrían ser consideradas en que esta suposición es incorrecta.

Answer 1

¿Por qué usted dice que $$ \int_V \nabla \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V' = -\int_V \nabla' \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V'$$? Esto no parece ser cierto. Usted debe tener \begin{align} \int_V \nabla \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V' &= \int_V \Big(\nabla \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|}\Big) \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' =\\&= \int_V \Big(-\nabla' \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|}\Big) \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' = \\ &= \int_V \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} \nabla' \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' - \int_V \nabla' \cdot \Big(\frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\bf J}({\bf x}') \Big){\rm d}V' =\\&= 0 - \int_{\partial V} \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\bf J}({\bf x}') \cdot {\rm d}{\bf S}\end{align} y esto se desvanece si ${\bf J}$ se desvanece con la suficiente rapidez. Tenga en cuenta que si no se desvanecen lo suficientemente rápido, entonces usted puede tener problema con la convergencia de la integral de la $\iiint \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V'$ tomado en todo el espacio; para asegurarse de que está bien definido, usted necesita ${\bf J}$ a desaparecer lo suficientemente rápido, y que hace que el límite de plazo para desaparecer en el infinito.

Answer 2

Su idea en las esferas de la radio de $R$ da la pista; si la densidad de corriente se comporta bien, la gran distancia de la superficie de $\mathbf x$ va a hacer la integral, en el límite de $R\to\infty$, ir a cero.

La situación considerada es la corriente eléctrica fluye sin acumulación de cargos; lo que ocurre dentro de una región, también va fuera de la región. Esto es muy común en la práctica, la corriente total que va en es igual a la corriente total que sale. En la práctica, esta corriente va en es limitado, no importa cómo el límite de la superficie elegida, debido a que la corriente en un solo cable es finito y el número de cables es finito.

La integral en cuestión puede ser dividido en dos partes, uno debido a la corriente que pasa en la región, y debido a la corriente que pasa fuera de la región:

$$ \int_{\partial V} \mathbf j/r\cdot d\mathbf S = C_{en} + C_{salida} $$ donde $$ C_{en} = \int_{\partial V} \chi_{en}(\mathbf x')\mathbf j(\mathbf x')/r\cdot d^2\mathbf x' $$ y $$ C_{salir} = \int_{\partial V} \chi_{salir}(\mathbf x')\mathbf j(\mathbf x')/r\cdot d^2\mathbf x' $$ donde $\chi_{in}$ es característica de la función de la parte de la superficie donde la corriente va en ($\mathbf j\cdot d\mathbf S < 0$).

Vamos a utilizar la desigualdad de triángulo:

$$ \left| \int_{\partial V} \mathbf j/r\cdot d\mathbf S \right| \leq |C_{en}| +| C_{salida}|. $$

De modo que la integral obviamente ir a cero si ambos $C_{in}$ e $C_{out}$ ir a cero. Estos dos van a cero es suficiente condición (puede no ser necesario).

Deje que el más pequeño de $r=|\mathbf x - \mathbf x'|$ durante alguna etapa de la limitación de proceso se denota $r_{min}$. Por supuesto, en la limitación del proceso, la totalidad de la frontera tiene que expandir hasta el infinito, por lo $r_{min}\to\infty$.

$$ |C_{en}| \leq \int_{\partial V} \chi_{en}(\mathbf x')|\mathbf j(\mathbf x')\cdot d^2\mathbf x'|/r_{min} = \frac{I_{en}}{r_{min}} $$ donde $I_{in}$ es (positivo) valor de la corriente debido a las cargas que llegan a la región. Como esta corriente no crecen demasiado rápido con $r_{min}$, la contribución irá a cero a medida que la frontera se expande hasta el infinito. Lo mismo para el otro aporte.

Por lo que la condición suficiente para que la superficie integral a ir a cero es que la corriente eléctrica pasando a través de la superficie no está creciendo demasiado rápido, ya que la superficie se expande. Si la corriente está limitada por un valor máximo no importa el límite, como es el caso de que el sistema está hecho de un número finito de (posiblemente infinitamente largo) cables de finito actual, entonces la integral se pondrá a cero. Así uno puede considerar arbitraria número finito de lo infinito cables, cada uno llevando finito actual. Sin embargo, si el número de cables que crucen el límite aumenta tan rápido o más rápido que $r_{min}$, entonces podría ser un problema y la integral no tiene límite 0. Esto no parece una situación muy común, aunque.

Answer 3

Tengo algunas ideas en lugar de una respuesta. Tal vez pueda ayudar. Desde su densidad de corriente es divergen-menos tal vez es una buena idea para aplicar Helmholtz de descomposición?

Por un genérico, bien educado 3d vector de campo con $\boldsymbol{\nabla}.\mathbf{J}=0$ tenemos:

$\mathbf{J}\left(\mathbf{r}\right)=\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{M}$

Para algunas campo de vectores $\mathbf{M}$, pero luego (el uso de Levi-Civita símbolo $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ a lidiar con curl):

$\int d^3 r' \mathbf{J}\left(\mathbf{r'}\right).\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\int d^3 r' \partial'_{\beta}M_{\gamma}\left(\mathbf{r'}\right).\partial'_{\alpha}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\oint d^2 r' \hat{n}_{\beta} M_{\gamma}\left(\mathbf{r'}\right).\partial'_{\alpha}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$

Donde $\boldsymbol{\hat{n}}$ es la normal a la superficie del volumen sobre el cual se está integrando, y he utilizado la simetría de la de Levi-Civita para deshacerse de la otra integral.

Hizo esta ayuda? Así que todavía tiene una superficie integral, pero ahora estamos hablando de magnetización ($\mathbf{M}$) que no tienen a desaparecer rápidamente de la integral converge a cero. También, usted puede repetir el mismo truco, de hecho no hay generalidad se pierde por el supuesto de que $\boldsymbol{\nabla}.\mathbf{M}=0$. Me pregunto si usted puede construir un proceso iterativo de prueba donde ir más profundo y más profundo en los derivados de la densidad de corriente que, a continuación, establece que la integral inicial puede hacerse tan cerca de cero como usted desea.