A partir de sus comentarios parece que se están utilizando la definición de $\exp(x) $ como la única solución a $f'(x) =f(x), f(0)=1$. Se puede demostrar que dicha solución debe ser distinto de cero para todos los $x$ (véase la segunda parte de esta respuesta). Por lo tanto $\exp(x) \neq 0$ para todos los $x$. Deje $a$ ser cualquier número real y considere la función $g$ definido por $g(x) =\exp(x+a) /\exp(x) $. Tenemos $$g'(x) =\frac{\exp (x) \exp(x+a) - \exp(x+a) \exp(x) } {(\exp(x)) ^2}=0$$ and thus $g$ is a constant. It follows that $g(x) =g(0)=\exp(un)$ and thus $$\exp(x+a) =\exp(x) \exp(a) $$ Now replace $x$ by $x_1$ and $a$ by $x_2$.
La técnica anterior no funciona si uno elige $$g(x) =\exp(x+a) - \exp(x) \exp(a) $$ because one can't see that $g'(x) =0$ in very obvious manner. But this can be done with some effort. Using above definition of $g$ one gets $g'(x) =g(x),g(0)=0$. Ideally when one studies the definition of exponential function as a solution of differential equation $f'(x) =f(x), f(0)=1$, a continuación, el primer paso es mostrar que si la solución existe, entonces debe ser único. Y que la singularidad se muestra en los siguientes:
Teorema: Si la función $g:\mathbb{R} \to\mathbb{R} $ satisface $g'(x) =g(x), g(0)=0$ entonces $g(x) =0$ para todos los valores de $x$.
Por el contrario, asumir que hay algo de $a$ tal que $g(a) \neq 0$ y considerar $$h(x) =g(a+x) g(a-x) $$ then $$h'(x) =g(a+x) g(a-x) - g(a+x) g(a-x) =0$$ so that $h$ is constant and $h(x) =h(0)=g(a)g(a)>0$ or in other words $g(a+x) g(a-x) >0$. Putting $x=a$ and noting that $g(0)=0$ we see that $0>0$ and this contradiction shows that $g(x) =0$ for all $x$ and we are done. The same proof can be used to show that $\exp(x) \neq 0$. We just need to consider $h(x) =\exp(x) \exp(-x) $.
