¿Cómo resolver la ecuación diferencial homogénea?

Question

EDITADO CON LA RESPUESTA FINAL:

Resuelve la siguiente ecuación diferencial: $$y' = \frac{2xy}{x^2-y^2}$$

Por favor, que alguien me ayude a terminar este problema. Mi solución hasta ahora: $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x^2}(2xy)}{\frac{1}{x^2}(x^2-y^2)}$$ $$\frac{dy}{dx}= 2\frac{y}{x} * \frac{1}{1-{\frac{y^2}{x^2}}}$$ Dejemos que $v = \frac{y}{x}$ , $y=vx$ entonces $\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{2v}{1-v^2}$$ Estableciendo las dos ecuaciones iguales entre sí: $$v+x\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1-v^2}$$ $$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1-v^2} - \frac{v-v^3}{1-v^2}$$ $$x\frac{dv}{dx} = \frac{v+v^3}{1-v^2}$$ $$xdv = \frac{v+v^3}{1-v^2}dx$$ $$\frac{1-v^2}{v+v^3}dv = \frac{1}{x}dx$$ $$\int\frac{1-v^2}{v+v^3}dv = \int\frac{1}{x}dx$$ $$\ln \left|v\right|-\ln \left|v^2+1\right| = ln|x| + c$$ Sustituyendo $\frac{y}{x}$ para $v$ : $$\ln \left|\frac{y}{x}\right|-\ln \left|\frac{y^2}{x^2}+1\right| = ln|x| + c$$ $$\ln \left|{y}\right|-\ln|x|-\ln \left|\frac{y^2}{x^2}+1\right| = ln|x| + c$$ Tomando $e$ a todo lo que obtenemos: $$y - x - (\frac{y^2}{x^2}+1) = x + e^c$$ $$y - (\frac{y^2}{x^2}+1) = 2x + e^c$$ $$y - \frac{y^2}{x^2} - 1= 2x + e^c$$ $$y - \frac{y^2}{x^2} = 2x + e^c + 1$$ $$\frac{x^2y-y^2}{x^2} = 2x + e^c + 1$$ $$x^2y-y^2 = 2x^3 + x^2e^c + x^2$$ $$0 = y^2 - x^2y + 2x^3 + x^2e^c + x^2$$

Utilizando la fórmula cuadrática obtenemos $$y = \frac{x^2±\sqrt{x^4-8x^3-4x^2e^c-4x^2}}{2}$$ $$y = \frac{x^2±\sqrt{x^2(x^2-8x-4e^c-4)}}{2}$$ $$y = \frac{x^2±x\sqrt{x^2-8x-4e^c-4}}{2}$$

Answer 1

Desde $\ln |v| - \ln |v^2 + 1| = \ln x + c$ obtenemos $\ln \left|\frac{v}{v^2 + 1}\right| = \ln x + c \Rightarrow \frac{v}{1+v^2}= Ax$ . Así que $$v = Ax + Axv^2 \Rightarrow\frac{y}{x} = Ax + A\frac{y^2}{x} \Rightarrow y = Ax^2 + Ay^2$$

Y ahora resolver para $y$ desde $Ay^2 - y + Ax^2= 0 $ es una cuadrática en $y$ .

Answer 2

En este tipo de problemas vale la pena describir las curvas de solución en coordenadas polares. Si $$\phi\mapsto\bigl(r(\phi)\cos\phi,\> r(\phi)\sin\phi\bigr)$$ es una curva de solución, entonces $y'={\displaystyle{\dot y\over\dot x}}$ donde el punto denota la diferenciación con respecto a $\phi$ . De ello se desprende que $$y'={2xy\over x^2-y^2}$$ se traduce en $${\dot r\sin\phi+r\cos\phi\over\dot r\cos\phi-r\sin\phi}={\sin(2\phi)\over\cos(2\phi)}\ .$$ Esto equivale a $${\dot r\over r}={\cos\phi\over\sin\phi}\ ,$$ para que las curvas de solución resulten tener la descripción polar $$r(\phi)=C\>\sin\phi\ .$$ Es fácil comprobar que estas curvas son círculos que pasan por el origen.