Tengo un trozo de cuerda de longitud fija 'x'. Es posible colocarlo en un conjunto de ondas sinusoidales de amplitud variable. La longitud de onda resultante será una función de la amplitud. La amplitud máxima será x / 4, el mínimo será cero. Para una amplitud dada, ¿existe una fórmula que defina la longitud de onda?
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Technophile
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El tratamiento de la función seno como la ecuación paramétrica $x=t,y=a\sin kt$; esto ha amplitud de la una y de la longitud de onda $\frac{2\pi}k$. La longitud del arco de un ciclo entero está dada por $$L=\int_0^{2\pi/k}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\ dt$$ $$=\int_0^{2\pi/k}\sqrt{1+(ka\cos kt)^2}\ dt$$ Hacer la sustitución $u=kt$, con $\frac{du}{dt}=k$: $$=\frac1k\int_0^{2\pi}\sqrt{1+(ka)^2\cos^2(u)}\ du$$ Debido a las simetrías del cuadrado de la función coseno, donde $\cos^2 x=\cos^2(\pi+x)=\cos^2(\pi-x)$, la integral se puede dividir por cuatro: $$=\frac4k\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+(ka)^2\cos^2u}\ du$$ $$=\frac4k\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+(ka)^2-(ka)^2\sin^2u}\ du$$ $$=\frac4k\sqrt{1+(ka)^2}\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\frac{(ka)^2}{1+(ka)^2}\sin^2u}\ du$$ Esta última integral es en la forma de la integral elíptica completa de la segunda clase, y los rendimientos de nuestro resultado final: $$L=\frac4k\sqrt{1+(ka)^2}E\left(\sqrt{\frac{(ka)^2}{1+(ka)^2}}\right)$$ La pregunta ahora pide $\frac{2\pi}k$ dado L y una, pero la relación derivada de arriba no tiene forma cerrada de solución para k; métodos numéricos iterativos debe ser utilizado. Por ejemplo, con $a=1$ e $L=8$, plonking la relación en Wolfram Alpha rendimientos $k=0.936355\dots$, donde la longitud de onda $\frac{2\pi}k=6.710259\dots$
