¿Cómo mostrar$\mathbb{E}[AB\mid B]=B\cdot\mathbb{E}[A\mid B]$?

Question

¿Cómo mostrar$\mathbb{E}[AB\mid B]=B\cdot\mathbb{E}[A\mid B]$?

Intuitivamente, ya que estamos condicionando el$B$, ya se conoce$B$, así que simplemente podemos eliminar a$B$ del operador de expectativas. Pero la parte difícil es que$\mathbb{E}[AB\mid B]$ es una variable aleatoria.

Answer 1

Voy a utilizar la siguiente definición como mi punto de partida:

Definición. Si $X \in L^1(\Omega, \mathcal{F}, \Bbb{P})$ e $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$ es $\sigma$-álgebra, a continuación, $\Bbb{E}[X \mid \mathcal{G}]$ es $\mathcal{G}$medible integrable función para la que

$$ \int_{E} X \, d\Bbb{P} = \int_{E} \Bbb{E}[X \mid \mathcal{G}] \, d\Bbb{P} \qquad \forall E \in \mathcal{G} $$

es cierto.

Si $E$ es $\sigma(B)$-medible, entonces para todos los $F \in \sigma(B)$ hemos

\begin{align*} \int_{F} \Bbb{E}[A\mathbf{1}_E \mid B] \, d\Bbb{P} &= \int_{F} A\mathbf{1}_E \, d\Bbb{P} \qquad & \text{(by definition with %#%#%)}\\ &= \int_{F\cap E} A \, d\Bbb{P} \\ &= \int_{F\cap E} \Bbb{E}[A \mid B] \, d\Bbb{P} & \text{(by definition with %#%#%)} \\ &= \int_{F} \mathbf{1}_E \Bbb{E}[A \mid B] \, d\Bbb{P} \end{align*}

y, por tanto, $A\mathbf{1}_E$- a.s. $A$ mantiene.

Ahora usted puede invocar el mecanismo estándar - la monotonía de la clase teorema - para comprobar que el mismo es cierto para todos los $\Bbb{P}$medible de r.v.s $\Bbb{E}[A\mathbf{1}_E \mid B] = \mathbf{1}_E \Bbb{E}[A \mid B]$ para que $\sigma(B)$.

Alternativamente, aproximado $X$ por una secuencia de funciones simples y el uso de la observación anterior directamente junto con un adecuado teorema de convergencia.

(Cualquiera de los casos, puede ser necesario para invocar condicional versión de MCT o DTO.)

Answer 2

Definición: $$E[AB\mid B]$$ is any random variable $Z$ s.t.

1. $Z$ es $B-$medibles

2. $\forall B_1 \in \sigma(B)$

$$\int_{B_1} Z \, d\mathbb P = \int_{B_1} E[AB\mid B] \, d\mathbb P$$

o

$$E[Z1_{B_1}] = E[E[AB\mid B]1_{B_1}]$$

---

Ahora debemos verificar si $BE[A\mid B]$ satisface a aquellos.

1. $Z = BE[A|B]$es $B-$medibles

debido a $B$ es $B$medible, $E[A\mid B]$ es $B-$ medibles y el producto de $B-$ funciones medibles es $B-$ medibles.

2. $\forall B_1 \in \sigma(B)$

$$LHS = E[Z1_{B_1}] = E[BE[A\mid B]1_{B_1}] = E[BE[A1_{B_1}\mid B]] = E[E[BA1_{B_1}\mid B]] = E[BA1_{B_1}]$$

$$RHS = E[E[AB\mid B]1_{B_1}] = E[E[AB1_{B_1} \mid B]] = E[AB1_{B_1}]$$

QED

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Observar que hemos utilizado las propiedades de $E[A\mid B]$:

1. $E[A\mid B]$ es $B$medible

2. $$E[A\mid B]1_{B_1} = E[A1_{B_1}\mid B]$$

Answer 3

Para evitar preguntas sobre la existencia de estas expectativas, supongamos que$A$ y$B$ están delimitados como

Una definición de expectativa condicional:$\mathbb E[X\mid B]$ es una función medible de$B$, tal que$\mathbb E[ g(B) \mathbb E[X\mid B]] = \mathbb E[g(B) X]$ para todos los límites medibles$g$.
Cualquiera de dos de estos son iguales a

Así que veamos:$B \; \mathbb E[A\mid B]$ es una función medible de$B$, y

PS