Supongamos que$A \subset \mathbb{R}$ y$m(A) = 0$. Muestra esa $m (A^2) = 0$.

Question

Mi pregunta es la siguiente: vamos a $m$ denotar la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$. Definir $A^2 := \{ x \cdot y \ | \ x, \ y \in A \}$. Si $m(A) = 0$, muestran que $m (A^2) = 0$.

Mi observación inicial era intentar escribir $$A^2 = \bigcup_{a \in A} a \cdot A$$ Entonces, ciertamente, $m (a \cdot A) = 0$ para todos los $a$. Sin embargo, $A$ pueden ser innumerables, por lo que podría haber problemas en la unión. Mi intento de solucionar este problema es encontrar un conjunto abierto $E \supset A$ con medida $\varepsilon >0$, y consideran que cualquier subconjunto compacto $K$ de % de$A^2$. Tenemos que $\bigcup_{a \in A} a E$ es una cubierta abierta de $K$, de donde podemos elegir de un número finito de subcover $\{ a_1 E , \dots , a_n E \}$ de % de$K$. A continuación, $$m (K) < (a_1 + \dots + a_k ) \varepsilon$$ Mi problema con esto es que, como $\varepsilon \to 0$, el número de sets necesarios para cubrir $K$ puede llegar a ser muy grande, así que no puedo garantizar que $m (K) = 0$. Me gustaría decir $m (A^2) = m(A)^2$, pero que parece demasiado simple. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Esto es falso.

Deje $B$ ser el ternario de Cantor conjunto. Este es un ejemplo de un conjunto de null medida que el $B+B:=\{b+b' \mid b,b'\in B\}=[0,2]$ (cf esta respuesta). Ahora vamos a $A:=e^B=\{e^b \mid b\in B\}$. $A$ es de null medir, ya que

$$m(A)=\int_\mathbb{R_+} 1_A(y) \,\mathrm{d}y=\int_\mathbb{R} 1_A(e^x) e^x \,\mathrm{d}x=\int_\mathbb{R} 1_B(x) e^x\,\mathrm{d}x=0, $$

mientras

$$A^2=\{aa' \a mediados de a,a'\en\} = \{e^ser^{b'} \mediados de b,b'\in B\}=e^{B+B'}=e^{[0,2]}=[1,e^2] $$

tiene medida positiva.