Si$f$ es biyectivo, entonces muestre que tiene un inverso único$g$

Question

Dada una función de $f:X\rightarrow Y$, una función inversa $g$ de % de $f$ es una función de $Y$ a $X$ tal que $\left ( f(g(y)) \right )=y$ para todos los $y \in Y$. Tengo que demostrar que $g$ es una única función inversa de la $f$ si $f$ es bijective.

Mi intento: Desde $f$ es bijective, sabemos que existe un $y \in Y$ con $f(y)=x$ por cada $x \in X$ (a partir de surjectivity). Además, no es sólo uno de esos $y$ tal que $f(y)=x$ desde $f$ es inyectiva así.

Deje $g(x)=y$. A continuación, $g(f(y))=y$ cualquier $y$ e $f(g(y))=x$ cualquier $x$. Por lo $g$ es una función inversa de $f$.

Para mostrar que $g$ es único, supongamos por contradicción, $f$ tiene otro inverso $h$. También suponga $g \neq h$. Luego pasaría a ser parte de $x$ para que $g(x) \neq h(x)$. Sin embargo, esta $x$ debe $f(y)$ para algunos $y \in Y$.

Desde $g$ es una función inversa de $f$, debemos tener $g(x) = g(f(y))=y$.

Del mismo modo, $h(x)=y$.

Por lo tanto, no es $x$ tal que $g(x) \neq h(x)$.

Por lo $g$ es único.

Realiza esta prueba parece correcto?

Answer 1

Aparte del problema que comenté en mi comentario, su prueba se ve bien. Hay una forma alternativa: supongamos que$g,h$ son dos funciones inversas de$f$. Luego, por cada$x \in Y$ obtienes$$g(x) = g(h^{-1}(h(x))) = g(f(h(x))) = h(x).