Una Normalización de la transformada de Fourier
Hay varias maneras de normalizar la transformada de Fourier. La manera en que me parece más bonito es definir
ˆf(ξ)=∫∞−∞f(x)e−2πix⋅ξdx\etiqueta1
Definir
g(x)=∞∑k=−∞f(x+k)\etiqueta2
A continuación, g tiene período de 1. Conectar x=0 a (2) da
g(0)=∞∑k=−∞f(k)\etiqueta3
Para n∈Z, los coeficientes de la Serie de Fourier son
ˆg(n)=∫10g(x)e−2πinxdx=∞∑k=−∞∫10f(x+k)e−2πinxdx=∫∞−∞f(x)e−2πinxdx=ˆf(n)
La inversión de la Serie de Fourier, se obtiene
g(x)=∞∑n=−∞ˆg(n)e2πinx\etiqueta5
Conectar x=0 a (5) y la aplicación de (4) rendimientos
g(0)=∞∑n=−∞ˆg(n)=∞∑n=−∞ˆf(n)
(3) e (6) dar la Sumación de Poisson Fórmula:
∞∑n=−∞f(n)=∞∑n=−∞ˆf(n)\etiqueta7
Deje f(x)=g(ax). Entonces tenemos
ˆf(n)=∫∞−∞f(x)e−2πinxdx=∫∞−∞g(ax)e−2πinxdx=1a∫∞−∞g(x)e−2πinx/adx=1aˆg(n/a)
La aplicación de (8) da la versión a escala de la (7):
√a∞∑n=−∞g(an)=1√a∞∑n=−∞ˆg(n/a)\etiqueta9
La ecuación de (9) es el equivalente de la ecuación en la cuestión de la transformada de Fourier se define en (1). Para obtener la ecuación en la pregunta, necesitamos utilizar una normalización diferente de la transformada de Fourier.
Otro de Normalización de la transformada de Fourier
Si se define la transformada de Fourier como
ˆf(ξ)=∫∞−∞f(x)e−ix⋅ξdx\etiqueta1a
y definir
g(x)=∞∑k=−∞f(x+2πk)\etiqueta2a
a continuación, g tiene período de 2π y conectar x=0 a (2a) da
g(0)=∞∑k=−∞f(2πk)\etiqueta3a
Para n∈Z, los coeficientes de la Serie de Fourier son
ˆg(n)=∫2π0g(x)e−inxdx=∞∑k=−∞∫2π0f(x+2πk)e−inxdx=∫∞−∞f(x)e−inxdx=ˆf(n)
La inversión de la Serie de Fourier, se obtiene
g(x)=12π∞∑n=−∞ˆg(n)einx\etiqueta5a
Conectar x=0 a (5a) y la aplicación de (4a) rendimientos
g(0)=12π∞∑n=−∞ˆg(n)=12π∞∑n=−∞ˆf(n)
(3a) e (6a) dar la Sumación de Poisson Fórmula:
∞∑n=−∞f(2πn)=12π∞∑n=−∞ˆf(n)\etiqueta7
Deje f(x)=g(ax). Entonces tenemos
ˆf(n)=∫∞−∞f(x)e−inxdx=∫∞−∞g(ax)e−inxdx=1a∫∞−∞g(x)e−inx/adx=1aˆg(n/a)
La aplicación de (8a) da la versión a escala de la (7a):
√2π∞∑n=−∞g(2πan)=1√a∞∑n=−∞ˆg(n/a)\etiqueta9
(9a) es la ecuación de la pregunta.