Una Normalización de la transformada de Fourier
Hay varias maneras de normalizar la transformada de Fourier. La manera en que me parece más bonito es definir
$$
\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,\mathrm{d}x\etiqueta{1}
$$
Definir
$$
g(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty f(x+k)\etiqueta{2}
$$
A continuación, $g$ tiene período de $1$. Conectar $x=0$ a $(2)$ da
$$
g(0)=\sum_{k=-\infty}^\infty f(k)\etiqueta{3}
$$
Para $n\in\mathbb{Z}$, los coeficientes de la Serie de Fourier son
$$
\begin{align}
\hat{g}(n)
&=\int_0^1g(x)\,e^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty\int_0^1f(x+k)\,e^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,e^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\hat{f}(n)\tag{4}
\end{align}
$$
La inversión de la Serie de Fourier, se obtiene
$$
g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{g}(n)e^{2\pi inx}\etiqueta{5}
$$
Conectar $x=0$ a $(5)$ y la aplicación de $(4)$ rendimientos
$$
\begin{align}
g(0)
&=\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{g}(n)\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\tag{6}
\end{align}
$$
$(3)$ e $(6)$ dar la Sumación de Poisson Fórmula:
$$
\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\etiqueta{7}
$$
Deje $f(x)=g(ax)$. Entonces tenemos
$$
\begin{align}
\hat{f}(n)
&=\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\int_{-\infty}^\infty g(ax) e^{-2\pi inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac1a\int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-2\pi inx/a}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac1a\hat{g}(n/a)\tag{8}
\end{align}
$$
La aplicación de $(8)$ da la versión a escala de la $(7)$:
$$
\sqrt{a}\sum_{n=-\infty}^\infty g(an)=\frac1{\sqrt{a}}\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{g}(n/a)\etiqueta{9}
$$
La ecuación de $(9)$ es el equivalente de la ecuación en la cuestión de la transformada de Fourier se define en $(1)$. Para obtener la ecuación en la pregunta, necesitamos utilizar una normalización diferente de la transformada de Fourier.
Otro de Normalización de la transformada de Fourier
Si se define la transformada de Fourier como
$$
\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,e^{-ix\cdot\xi}\,\mathrm{d}x\etiqueta{1a}
$$
y definir
$$
g(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty f(x+2\pi k)\etiqueta{2a}
$$
a continuación, $g$ tiene período de $2\pi$ y conectar $x=0$ a $\mathrm{(2a)}$ da
$$
g(0)=\sum_{k=-\infty}^\infty f(2\pi k)\etiqueta{3a}
$$
Para $n\in\mathbb{Z}$, los coeficientes de la Serie de Fourier son
$$
\begin{align}
\hat{g}(n)
&=\int_0^{2\pi}g(x)\,e^{-inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty\int_0^{2\pi}f(x+2\pi k)\,e^{-inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,e^{-inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\hat{f}(n)\tag{4a}
\end{align}
$$
La inversión de la Serie de Fourier, se obtiene
$$
g(x)=\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{g}(n)e^{inx}\etiqueta{5a}
$$
Conectar $x=0$ a $\mathrm{(5a)}$ y la aplicación de $\mathrm{(4a)}$ rendimientos
$$
\begin{align}
g(0)
&=\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{g}(n)\\
&=\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\tag{6a}
\end{align}
$$
$\mathrm{(3a)}$ e $\mathrm{(6a)}$ dar la Sumación de Poisson Fórmula:
$$
\sum_{n=-\infty}^\infty f(2\pi n)=\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\etiqueta{7}
$$
Deje $f(x)=g(ax)$. Entonces tenemos
$$
\begin{align}
\hat{f}(n)
&=\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\int_{-\infty}^\infty g(ax) e^{-inx}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac1a\int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-inx/a}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac1a\hat{g}(n/a)\tag{8a}
\end{align}
$$
La aplicación de $\mathrm{(8a)}$ da la versión a escala de la $\mathrm{(7a)}$:
$$
\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty g(2\pi an)=\frac1{\sqrt{a}}\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{g}(n/a)\etiqueta{9}
$$
$\mathrm{(9a)}$ es la ecuación de la pregunta.
